3.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Дано уравнение f(x)=0. Пусть найден отрезок , такой, что на концах его функция f(x) имеет разные знаки, т.е. . Пусть, кроме того, производные и на отрезке сохраняют знак. Пусть для определенности , , , при .

В точке проведем касательную к кривой y=f(x) (рис. 3.3).

У В₀

0 а₀ b₂ b₀ B₁

x

A₀

Рис. 3.3

Точку пересечения касательной с осью 0х принимаем за приближенное значение корня уравнения. Запишем уравнение касательной

.

Точку пересечения касательной с осью 0х обозначим через b₁. Имеем

.

Принимая за конец нового отрезка можно повторить предыдущий шаг и найти :

и т.д.

. (3.4)

Докажем сходимость этого процесса. Рассмотрим последовательность

b₀, b₁, b₂, …, b_n, ….

Докажем, что все . Используем метод математической индукции. Прежде всего .

Пусть . Докажем ,что .

Положим

Применяя формулу Тейлора, получаем

.

где .

Так как и , получаем

.

Отсюда

, т.е. .

Доказано, что все и следовательно, . Из формулы (3.4) вытекает, что . Итак , последовательность b₀, b₁, b₂, … монотонно убывающая, ограниченная.

Существует . Покажем, что с – это и есть корень уравнения . Действительно, переходя к пределу при в равенстве (3.4), получаем

.

Отсюда , т.е. .

Отметим, что если провести касательную к кривой y=f(x) в точке (рис. 3.3), получим точку , лежащую вне отрезка . Поэтому, применяя метод касательных,следует руководствоваться следующим правилом: касательная проводится на том же конце отрезка, где знаки функции и второй производной совпадают.

3.6. Комбинированный метод

Метод хорд и метод касательных дают приближение к корню с какого-либо одного конца отрезка; второй конец отрезка остается неподвижным. На практике удобнее использовать комбинированный метод, заключающийся в поочередном применении метода хорд и метода касательных.

Возьмем для определенности , , , при . Определим а₁ по методу хорд и по методу касательных. Затем находим , применяя метод хорд на отрезке , и т.д. (рис. 3.4).

Комбинированный метод дает более быструю сходимость, чем метод хорд или метод касательных в отдельности. Кроме того, при применении комбинированного метода легко оценить погрешность результата, так как и находятся по разные стороны от корня. Отсюда, в частности, следует, что цифры, совпадающие у и , принадлежат точному корню .

у

0 а₀ а₁ а₂

x

b₂ b₁ b₀

Рис. 3.4

Четыре возможные комбинации знаков производных и определяют четыре типа расположения кривой y=f(x). условимся через b₀ обозначать тот конец отрезка, на котором знак функции f(x) и ее второй производной совпадают (рис. 3.5).

Расчетные формулы комбинированного метода имеют вид:

где n=0, 1, 2,… .

Если корень уравнения требуется вычислить с точностью до , процесс вычисления корня можно прекращать в тот момент, когда . в ответа возьмем среднее арифметическое полученных значений а_n и b_n, т.е.

.

y

y

0 a₀ b₀ x 0 b₀ a₀ x

y

y

0 b₀ a₀ x 0 a₀ b₀ x

Рис. 3.5

Пример. Вычислить с точностью до действительный корень уравнения . вычисления в виде табл.3.2.