Глава 6. Численные методы решения

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Методы решения задачи Коши. Вводные замечания

В вычислительной практике довольно часто приходится иметь дело с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача решения обыкновенного дифференциального уравнения сложнее задачи вычисления интеграла, и доля задач, решаемых в явном виде здесь ничтожно мала. Обычно приходится прибегать к помощи приближенных методов решения подобных задач. Конкретный вид метода зависит прежде всего от типа решаемой дифференциальной задачи. Наиболее простой и важной для приложений является задача Коши.

Рассмотрим случай одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Методы, которые мы рассмотрим, легко обобщаются для системы дифференциальных уравнений первого порядка и для дифференциальных уравнений высших порядков. Итак, рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть на отрезке требуется найти решение у(х) дифференциального уравнения

, (6.1)

удовлетворяющее при начальному условию

, (6.2)

Другими словами, требуется найти интегральную кривую проходящую через заданную точку . Будем считать, что условия существования и единственности решения поставленной задачи Коши выполняются.

Выбираем на отрезке фиксированные точки

. (6.3)

По некоторой формуле, зависящей от выбранного метода, вычисляем значения приближенного решения

.

Большое количество методов решения задачи Коши имеет расчетную формулу вида

, (6.4)

где F – некоторая известная функция указанных аргументов определяемая способом построения метода и зависящая от уравнения (6.1) и избранной сетки (6.3).

При q=0 формула (6.4) записывается в виде

. (6.5)

Методы такого типа называются одношаговыми. При получаем многошаговые методы.

Если применяется одношаговый метод, то вычисления при помощи этого метода по формуле (6.5) можно начинать со значения n=0. При применении многошагового метода вычисления по формуле (6.4) можно начинать только со значения n=q. Первые q значений y₁, y₂, …,y_q приближенного решения вычисляются при помощи какого-либо другого метода, что влечет за собой нарушение однородности вычислительного процесса. Одношаговые методы в этом отношении являются предпочтительнее. Удобнее ими пользоваться и в том случае, когда шаг сетки не является постоянным для всех значений n.

Вид одношаговой формулы не связан с величиной шага на предыдущем этапе вычислительного процесса, и поэтому допускается изменение шага, в то время как многошаговые методы нужно специальным образом приспосабливать для этих целей. Основной недостаток одношаговых методов по сравнению с многошаговыми – их трудоемкость.

При применении одношаговых методов информация о решаемой задаче используется лишь в пределах одного шага, поэтому при переходе от шага к шагу ее нужно каждый раз получать заново, что и дает большой объем вычислений. При применении многошаговых методов часть такой информации повторно используется на нескольких соседних этапах вычислений, что позволяет уменьшить объем вычислительной работы на каждом шаге.

На практике эти два метода необходимо сочетать, учитывая их достоинства и недостатки.