Глава 4. Решение систем линейных уравнений

4.1. Метод Гаусса (схема единственного деления)

Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он может быть осуществлен при помощи разных вычислительных схем, в основе которых лежит одна и та же идея последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса является точным, т.е. если коэффициенты при неизвестных и правые части системы – точные числа, а все вычисления производятся без округлений, то в ответе получим точные значения неизвестных. Рассмотрим подробнее схему единственного деления. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными. Эти же приемы могут быть применены для системы уравнений любого порядка.

Требуется найти решение системы

(4.1)

Пусть . (В противном случае переставим уравнения так, чтобы это условие выполнялось). Разделим первое уравнение системы (4.1) на коэффициент , который будем называть «ведущим» элементом. Получим уравнение

(4.2)

где

. (4.3)

Пользуясь уравнением (4.2) можно исключить переменную х₁ из второго и третьего уравнений системы (4.1). для этого из второго уравнения системы (4.1) вычитаем уравнение (4.2), умноженное на , а из третьего уравнения системы (4.1) вычитаем уравнение (4.2), умноженное на .

П риходим к системе

(4.4)

где

, (4.5)

К системе (4.4) применим те хе преобразования, что и к системе (4.1). Делим первое уравнение системы (4.4) на «ведущий» элемент . Получаем уравнение

(4.6)

где

(4.7)

Исключаем переменную х₂ из второго уравнения системы (4.4). Для этого умножаем уравнение (4.6) на и вычитаем из второго уравнения системы (4.4). Получаем

(4.8)

где , (4.9)

Наконец, разделив уравнение (4.8) на , получаем

. (4.10)

Объединив уравнения (4.2), (4.6) и (4.10) с коэффициентами b, получим треугольную систему, эквивалентную данной:

(4.11)

Р ешение системы (4.11) и, следовательно, системы (4.1), записывается в виде

(4.12)

Итак, для решения данной системы (4.1) сначала строим вспомогательную треугольную систему (4.11), а затем по формулам (4.12) записываем решение системы. пРоцесс нахождения коэффициентов треугольной системы называется прямым ходом, а процесс получения ее решения – обратным ходом. В вычислениях, чтобы избежать ошибок, целесообразно применять контроль. Для получения контрольных соотношений рассмотрим новые переменные , , , связанные с переменными х₁, х₂, х₃ следующим образом:

; ; . (4.13)

Если в систему (4.1) подставить

; ; . (4.14)

то для определения , , получим систему с прежними коэффициентами при неизвестных и со свободными членами, равными суммам коэффициентов строк (включая и свободные члены). Проверим это на одном из уравнений:

подставляем сюда х₁, х₂, х₃ из (4.14). Получаем

= .

Образовав суммы коэффициентов каждой строки (контрольные суммы), будем производить над ними те же операции, что и над остальными элементами строк. При отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца контрольных сумм равны суммам элементов соответствующих преобразованных строк. Это обстоятельство служит контролем прямого хода. Обратный ход контролируется нахождением чисел , , и их совпадением с числами х₁+1, х₂+1, х₃+1.

Все вычисления удобно оформить в виде табл. 4.1.

Таблица 4.1

Х1	Х2	Х3	Свободные члены
1
	1
		1
		1
	1
1

В обратном ходе используются строки, содержащие единицы. Расставленные в конце схемы единицы помогают находить соответствующие данной переменной коэффициенты в нужных строках.

Во избежание накопления погрешностей отокругления весь расчет ведем с двумя запасными знаками, которые при записи решения системы отбрасываем.

Пример. Решить систему

.

Вычисления оформить в виде табл. 4.2.

Таблица 4.2

Х1	-Х1	Х3	Свободные члены
2	1	-4	-7	-8
3	-2	5	8	14
2	-3	4	5	8
1		-2		-4
		11		25
	-4	8	12	16
	1
		1	2	3
		1	Х3=2	=3
	1		Х2=1	=2
1			Х1=0	=1

Последний столбец таблицы служит для контроля вычислений. Например, рассмотрим четвертую строку таблицы. Элемент b₁₅=4 получен так же, как все остальные элементы строки, т.е. (-8)/2. После его вычисления проверяем, нет ли ошибки в вычислении элементов этой строки. Последний элемент строки должен равняться сумме всех остальных элементов строки:

1+1/2-2-7/2=-4.

Равенство верное, элементы четвертой строки вычислены без ошибки. Аналогично поступаем при заполнении остальных строк таблицы: последний элемент строки вычисляем по тем же правилам, по котрым вычисляются все остальные элементы строки, и только после его вычисления проверяем, равен ли он сумме всех остальных элементов строки.

В рассмотренном примере коэффициенты при неизвестных и свободные члены – точные числа. Вычисления велись без округлений, поэтому в ответе получены точные значения неизвестных.

В чем преимущество решения системы методом Гаусса по сравнению с решением системы по формулам Крамера? При непосредственном раскрытии определителей в формулах Крамера решение системы n уравнений с n неизвестными требует порядка n!n арифметических операций: уже при n=30 такое число операций недоступно для современных ЭВМ. Число операций умножения и деления, которые выполняются в схеме единственного деления, равно , т.е. порядка n³.