4.7. Метод Зейделя Пусть система линейных алгебраических уравнений приведена к виду

.

З апишем систему в развернутом виде:

(4.38)

…………………………………………

В методе простой итерации приближение Х^(к+1) вычисляется по предыдущему приближению Х^(к) путем постановки компонента Х^(к) в правую часть всех уравнений системы (4.38), т.е.

.

Метод Зейделя (Ф. Зейдель (1821 – 1896) – немецкий математик) напоминает метод простой итерации. Отличие заключается в том, что при вычислении (к+1) –го приближения для компоненты x_i учитываются уже вычисленные ранее (к+1) –е приближение для компонент х₁, х₂, …, х_i-1. Вычисления производятся по формулам:

(4.39)

…………………………………………………………..

таким образом,

(4.40)

Приведем без доказательства теорему, в которой сформулированы применяемые на практике достаточные условия сходимости метода Зейделя.

Теорема. Для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1.)

2.) .

Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Однако это бывает не всегда. Возможен случай, когда метод Зейделя сходится медленнее метода простой итерации. Области сходимости этих двух методов различны и лишь частично перекрываются, поэтому возможны случаи, когда метод Зейделя сходится метод простой итерации расходится, и наоборот.

Пример. Методом Зейделя решить систему уравнений

Приведем заданную систему к виду

В качестве Х⁽⁰⁾ выбираем столбец свободных членов. Вычисления оформляем в виде табл. 4.6. В качестве ответа берем последнюю строку этой таблицы.

Таблица 4.6

	0.6	0.6	1.875
	0.855	0.021	1.981875
	0.992176	-0.005685	1.999021
	0.998667	0.000125	1.999833
	0.999941	0.000055	1.999992

Этот же пример был решен при помощи метода простой итерации. Сравнивая полученные значения с точным отвктом (х₁=1; х₂=0; х₃=2), видим, что метод Зейделя в данном случае дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации.

Глава 5. Обработка результатов наблюдений

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

5.1. Постановка задачи

Пусть в результате некоторого эксперимента получена таблица значений функции y=f(x):

x	x0	x1	…	хn
y	y0	y1	…	yn

Требуется выразить эту зависимость аналитически. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть эмпирическими формулами. Подбор эмпирических формул по данным результатов эксперимента не ставит своей целью восстановить истинный характер зависимости между имеющимися переменными, так как восстановить функцию по конечному числу ее значений – задача в общем случае неразрешимая. Характер зависимости между переменными величинами иногда известен из теоретических соображений или устанавливается на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих опытным данным. Тогда задача подбора эмпирической формулы сводится к тому, чтобы определить числовые значения параметров, входящих в эту формулу:

у=F(x, a₀, a₁, …, a_m), (5.1)

Где a₀, a₁, …, a_m - неизвестные параметры.

Числовые параметры желательно подбирать так, чтобы полученная кривая достаточно хорошо соответствовала исходным данным. Таким образом, нужно указать критерий, согласно которому та или иная кривая является достаточно “хорошим” приближением к исходным данным. Обозначим через у^/_i значения функции, вычисленные по эмпирической формуле (5.1) в заданных точках х_i, т.е.

y^/_i=F(x_i, a₀, a₁, …, a_m), .

Назовем уклонениями эмпирической формулы (5.1) от исходных данных («невязкими») разности

.

Вопрос о том, является ли кривая достаточно “хорошим” приближением к экспериментальным данным, можно поставить следующим образом: какое условие необходимо наложить на уклоненния точек от кривой, чтобы эта кривая представляла экспериментальные данные достаточно хорошо? Казалось бы, что наиболее простое и логичное условие состоит в том, чтобы сумма уклонений точек от кривой, т.е. , была наименьшей.

Н а рис.5.1 сумма уклонений равна нулю, однако проведенную прямую никак нельзя признать удовлетворительным приближением к экспериментальным данным.

у

А(х₀, у₀)

В(х₁, у₁₎

х

Рис. 5.1.

Можно попытаться обойти это затруднение, используя в критерии сумму абсолютных величин уклонений, т.е. требуя, чтобы

стала минимальной. Но в данном случае для нахождения этого минимума нельзя воспользоваться дифференцированием,так как абсолютная величина не имеет производной в точке минимума. Поэтому на практике в таких случаях чаще всего используют так называемый метод наименьших квадратов, согласно которому ищем те значения параметров а₀, а₁, …, а_m, при которых сумма квадратов уклонений

принимает минимальное значение. Другими словами, параметры а₀, а₁, …, а_m находим из условия обращения в минимум выражения

. (5.2)

Отсюда, используя необходимые условия существования экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения неизвестных а₀, а₁, …, а_m :

. (5.3)

Если система (5.3) имеет единственное решение, оно будет искомым.

На практике эмпирическую формулу чаще всего строят в виде алгебраического многочлена.