7.2. Метод сеток решения краевых задач

для дифференциальных уравнений эллиптического типа

Рассмотрим дифференциальное уравнение эллиптического типа

(7.2)

Это уравнение называют уравнением Пуассона (С. Пуассон (1781 – 1840) – французкий механик, физик и математик).

Первая краевая задача, или задача Дирихле для уравнения Пуассона, ставится следующим образом. Найти функцию u=u(x,y), удовлетворяющую внутри некоторой области D уравнению (7.2), а на границе Г – условию

, (7.3)

где - заданная непрерывная функция.

Одним из самых распространенных методов численного решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток (метод конечных разностей), который заключается в следующем.

Проводим на плоскости х0у два семейства параллельных прямых

; .

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Узлы имеют координаты:

, .

Условимся на рисунках данной главы указывать только индексы узла. Например, узел (x_i, y_k) обозначается через (i, k).

Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси 0х или 0у на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Таким образом, расположение узла (x_i, y_k) и его соседних узлов выглядит следующим образом (7.1).

(i, k+1)

l

h

(i-1,k) (i,k) (i+1,k)

(i,k-1)

Рис. 7.1

Будем рассматривать только те узлы, которые принадлежат области . Разобъем узлы области на внутренние и граничные. Некоторый узел (x_i, y_k) будем считать внутренним, если он сам или четыре соседних узла принадлежат области . Узлы области , у которых хотя бы один соседний узел не принадлежит области , называется граничным. Множество внутренних узлов обозначим через , множество граничных узлов – через Г*.

На рис. 7.2 внутренние узлы помечены знаком «о», граничные – знаком «*»

у

0 х

Рис. 7.2

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7.2) во всех внутренних узлах:

. (7.4)

Заменим частные производные второго порядка разностными отношениями:

(7.5)

где через U_ik обозначено приближенное сеточное значение решения уравнения (7.2) в узле (x_i, y_k).

Подставляя (7.5) в (7.4), получим для каждого внутреннего узла приближенное равенство

. (7.6)

Рассмотрим граничные узлы, т.е. узлы (x_i, y_k) Г*. Известно, что по условию (7.3). Поэтому, если узел попадает на границу Г области D, значение U_ik можем вычислить, используя это условие. Однако, как правило, граничные узлы не будут попадать на границу Г. Пусть узел (x_i, y_k) не попадает на границу Г. В этом случае значение U_ik положим равным значению функции в точке границы Г, ближайшей к этому узлу.

Иногда значение U_ik полагают равным значению функции в точке Г, ближайшей к рассматриваемому гра ничному узлу в направлении оси 0х (рис. 7.3):

U_ik=U(B) (x_i, y_k) Г*. (7.7)

Объединяя равенства (7.6) и (7.7), получим неоднородную линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Доказанно, что эта система имеет решение и притом единственное. Решив ее, получим приближенные значения искомого решения в узлах сетки.

Рассмотрим частный случай уравнения (7.2), который получается при f(x,y)=0

. (7.8)

Это уравнение называют уравнением Лапласа (П. Лаплас (1749 – 1827) – французский математик, физик и астроном).

Конечно – разностные уравнения (7.6) для уравнения Лапласа запишутся в виде

. (7.9)

Наиболее простой вид эти уравнения имеют при h=l:

или . (7.10)

у

М В

0 ч

Рис. 7.3

Объединяя (7.7) и (7.10), получим линейную систему уравнений. Решив систему, получаем приближенные значения решения уравнения (7.8), удовлетворяющего условию (7.3), в узлах сеточной области.