5.2. Приближение функции, заданной таблично,

алгебраическими многочленами по методу наименьших квадратов

Предположим, что по опытным данным

х	x0	x1	…	xn
у	y0	y1	…	yn

требуется построить эмпирическую формулу в виде многочлена степени m (m<n):

P_m(x)=a₀+a₁x+…+a_mx^m.

Составляем S(a₀, a₁, a₂, … , a_m) по формуле (5.2):

. (5.4)

Система уравнений для определения параметров a₀, a₁, a₂, … , a_m (5.3) запишется в данном случае в следующем виде:

. (5.5)

Система (5.5) состоит из (m+1)-го уравнения с (m+1)-м неизвестным. Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, так что ситема имеет единственное решение, при котором S принимает свое минимальное значение.

Рассмотрим частные случаи наиболее часто встречающиеся на практике.

1. Пусть m=1, т.е. функцию аппроксимируем многочленом первой степени

P₁(x)=a₀+a₁x.

Составляем

.

Записываем систему (5.5) для нахождения параметров а₀ и а₁:

Преобразуем эту систему:

(5.6)

Решив ее, находим а₀ и а₁.

2. Пусть m=2, т.е. функцию аппроксимируем многочленом второй степени

P₂(x)=b₀+b₁x+b₂x².

В этом случае

.

Составляем систему для нахождения параметров b₀, b₁, b₂:

Преобразуем полученную систему:

(5.7)

Решив эту систему, найдем b₀, b₁, b₂.

Все вычисления коэффициентов систем (5.6) и (5.7) удобно расположить в виде таблицы 5.1

Таблица 5.1

i	xi	xi2	xi3	xi4	yi	xiyi	xi2yi
0 1 . . . n	x0 x1 . . . xn	x02 x12 . . . xn2	x03 x13 . . . xn3	x04 x14 . . . xn4	y0 y1 . . . yn	x0y0 x1y1 . . . xnyn	x02y0 x12y1 . . . xn2yn

Отметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Сравним их.

Обычно в результате эксперимента получаются большие таблицы. На практике же применяются интерполяционные многочлены невысоких степеней. Если, например, строится интерполяционный многочлен степени m, то их таблицы используется (m+1) точка, остальные точки при этом не учитываются. При построении аппроксимирующего многочлена степени m по методу наименьших квадратов используются все точки таблицы, что дает более полную информацию об исходной функции. Кроме того, исходные данные х_i и y_i , как правило, являются приближенными и содержат ошибки. Интерполяционный многочлен, совпадающий в узлах интерполяции с интерполируемой функцией, повторяет эти ошибки. Аппроксимирующий многочлен, построенный по методу наименьших квадратов, сглаживает отдельные ошибки и поэтому лучше отображает действительность. Эти замечания справедливы не только для многочленов, но и для интерполяционной и эмпирической функций любого вида.

Метод наименьших квадратов с конца ХVIII века является одним из самых эффективных и распространенных методов математической обработки результатов наблюдений и опытов.

Отметим, что метод наименьших квадратов применяется и в других разделах вычислительной математики.