- •Глава 1. Интерполирование
- •Постановка задачи интерполирования
- •1.2. Единственность интерполяционного многочлена
- •. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •1.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа
- •. Конечные разности и их свойства
- •1.6. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •1.7. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •1.8. Интерполяционная формула Гаусса
- •1.10. Численное дифференцирование
- •Глава 2. Численное интегрирование
- •2.1. Общие замечания
- •Глава 3. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
- •3.1. Вводные замечания
- •3.2. Отделение корней
- •3.3. Метод половинного деления
- •3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.6. Комбинированный метод
- •3.7. Метод итерации (метод последовательных приближений)
- •Глава 4. Решение систем линейных уравнений
- •4.1. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •4.2. Вычисление определителей
- •4.3. Вычисление обратной матрицы
- •4.4. Некоторые сведения из линейной алгебры
- •Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
- •Вычитая второе равенство из первого, получаем
- •4.6. Приведение линейной системы к виду,
- •4.7. Метод Зейделя Пусть система линейных алгебраических уравнений приведена к виду
- •Глава 5. Обработка результатов наблюдений
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Приближение функции, заданной таблично,
- •Глава 6. Численные методы решения
- •6.1. Методы решения задачи Коши. Вводные замечания
- •6.2. Решение дифференциальных уравнений
- •6.3. Метод Эйлера Пусть дано дифференциальное уравнение
- •6.4. Уточненный метод Эйлера Рассмотрим дифференциальное уравнение
- •6.6. Методы Рунге – Кутта Пусть дано дифференциальное уравнение
- •6.7. Метод Милна
- •6.8. Приближенное решение систем дифференциальных
- •6.9.Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
- •6.10. Решение краевых задач
- •6.11. Метод прогонки Рассмотрим линейную систему уравнений (6.54). Преобразуя первые (n-1) уравнения:
- •Глава 7. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •7.1. Классификация дифференциальных уравнений
- •7.2. Метод сеток решения краевых задач
- •7.3. Погрешность аппроксимации дифференциальных уравнений
- •7.4. Аппроксимация граничных условий
- •7.6. Метод сеток для уравнений
. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть задана функция f(x) в (n+1) узле интерполяции:
x |
x0 |
x1 |
… |
xn |
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
… |
f(xn) |
Показано, что интерполяционный многочлен существует, притом единственный. Необходимо его построить.
П остроим вспомогательный многочлен , равный единице при и равный нулю в остальных узлах интерполяции, т.е.
1 при
(1.3)
0 при
Так как все узлы интерполяции, кроме , являются корнями многочлена , последний можно записать в виде
. (1.4)
Постоянную с определяем из условия подстановкой в (1.4):
.
Таким образом,
. (1.5)
Рассмотрим многочлен
(1.6)
Покажем, что это интерполяционный многочлен. Действительно, , как линейная комбинация с постоянными коэффициентами многочлена степени n, является многочленом степени, не выше n, причем
.
Интерполяционный многочлен , получаемый по формуле (1.6), называется интерполяционным многочленом Лагранжа (Ж. Лагранж (1736 – 1813) – великий французский математик и механик), а само равенство (1.6) – формулой Лагранжа. Применяется и другая форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа.
Введем - многочлен степени (n+1):
.
При помощи многочлен запишется в виде
.
Интерполяционный многочлен можно представить в следующем виде:
(1.7)
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблично:
X |
-0.5 |
0 |
1 |
f(x) |
-0.21 |
-1.50 |
0.53 |
.
Отметим, что в формулах (1.6) и (1.7) в слагаемых суммы множителя зависят только от выбора узлов xi и от точки х и не зависят от функции f(x). Множители f(xk) позволяют учитывать влияние на свойств функции и ее значений. Это особенно удобно в тех случаях, когда необходимо составлять интерполяционные многочлены для различных функций по одной системе узлов . Множители можно посчитать один раз и использовать их при составлении всех интерполяционных многочленов.
Неудобство интерполяционной формулы Лагранжа проявляется в следующей ситуации. Пусть составили интерполяционный многочлен по m узлам. После проверки результата оказалось, что точность недостаточна. В этом случае на практике часто строят интерполяционный многочлен, добавив один или несколько новых узлов. Вычисления, которые проводились с учетом m узлов, окажутся абсолютно непригодными в этом случае, все вычисления необходимо проводить с самого начала, так как в интерполяционном многочлене Лагранжа меняются все слагаемые.
1.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа
Пусть для функции f(x), заданной в (n+1) узле, построили интерполяционный многочлен Лагранжа . Значения заданной функции и интерполяционного многочлена в узлах интерполяции сов падают. Нас интересует, насколько близко построенный многочлен
приближается к функции f(x) в других точках отрезка [a,b], содержащего узлы интерполяции, т.е. насколько велика погрешность интерполирования
при .
Пусть заданная функция f(x) есть многочлен степени, не выше n. Тогда является также многочленом степени не выше n. Интерполяционный многочлен и заданная функции в (n+1) узле имеют одинаковые значения, следовательно, имеет по крайней мере (n+1) корень. Многочлен степени n не может иметь больше n корней. Следовательно, =0, и совпадает с f(x) во всех точках отрезка. Во всех остальных случаях .
Теорема. Пусть интерполируемая функция f(x) имеет на отрезке, [a b], содержащем узлы интерполяции , непрерывные производные до порядка (n+1). Тогда на [a,b] существует такая точка , что для погрешности интерполирования будет верно равенство
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
, (1.8)
где к – некоторая константа.
Очевидно, что . Подберем k таким, чтобы , где х – та точка отрезка [a,b], для которой строим интерполяционный многочлен и производим оценку погрешности интерполирования. Подставляя в (1.8) z=x и , получаем
. (1.9)
Знаменатель этой дроби отличен от нуля, так как . Итак, функция на отрезке [a,b] имеет (n+2) корня:
х0, х1, …,хn, х.
Применяя теорему Ролля к функции , получим, что имеет по крайней мере (n+1) корень на интервале [a,b]. Применяем теорему Ролля к функции . Получаем, что имеет по крайней мере n корней на интервале [a,b]. Продолжая эти рассуждения, придем к выводу, что имеет по крайней мере один корень на интервале [a,b], т.е. существует такая точка на интервале [a,b], что .
Вычисляем (n+1) производную от функции :
. (1.10)
Подставляя в (1.10) и , получаем
,
откуда
. (1.11)
Из формул (1.9) и (1.11) получаем
.
Отсюда
(1.12)
Теорема доказана.
Обозначая
,
получаем
. (1.13)
Рассмотрим следующую задачу.
На отрезке [a,b] известны значения функции f(x) в m точках . Требуется построить интерполяционный многочлен для приближенного вычисления функции в некоторой точке х. Для построения необходимо взять (n+1) узел. Какие точки взять в качестве узлов интерполяции, чтобы погрешность была наименьшей? Рассмотрим неравенство (1.13). Множитель не зависит от выбора узлов интерполяции. Множитель принимает наименьшее значение, если узлы интерполяции выбираются следующим образом. В качестве х0 возьмем ближайшую к х из заданных точек, в качестве х1 – ближайшую к х из оставшихся заданных точек и т.п.
Очевидно, что при таком выборе узлов принимает наименьшее значение.
Пример. Оценить, с какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Лагранжа , если восспользоваться известными величинами , , .
Рассмотрим функцию . Узлы интерполяции: х0=25; х1=36; х2=49. По этим узлам можно построить . Погрешность
;
; ; ;
;
Итак, рассмотрены интерполяционная формула Лагранжа и ее погрешность. Отметим, что при составлении интерполяционного многочлена Лагранжа никаких условий на расстояния между узлами интерполяции не ставилось: они могут быть произвольными, не равными между собой. Естественно ожидать, что, если расстояния между последовательными узлами интерполяции равны, вид интерполяционного многочлена упростится. Для записи интерполяционных многочленов в этих случаях требуется понятие о конечных разностях.