![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Интерполирование
- •Постановка задачи интерполирования
- •1.2. Единственность интерполяционного многочлена
- •. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •1.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа
- •. Конечные разности и их свойства
- •1.6. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •1.7. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •1.8. Интерполяционная формула Гаусса
- •1.10. Численное дифференцирование
- •Глава 2. Численное интегрирование
- •2.1. Общие замечания
- •Глава 3. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
- •3.1. Вводные замечания
- •3.2. Отделение корней
- •3.3. Метод половинного деления
- •3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.6. Комбинированный метод
- •3.7. Метод итерации (метод последовательных приближений)
- •Глава 4. Решение систем линейных уравнений
- •4.1. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •4.2. Вычисление определителей
- •4.3. Вычисление обратной матрицы
- •4.4. Некоторые сведения из линейной алгебры
- •Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
- •Вычитая второе равенство из первого, получаем
- •4.6. Приведение линейной системы к виду,
- •4.7. Метод Зейделя Пусть система линейных алгебраических уравнений приведена к виду
- •Глава 5. Обработка результатов наблюдений
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Приближение функции, заданной таблично,
- •Глава 6. Численные методы решения
- •6.1. Методы решения задачи Коши. Вводные замечания
- •6.2. Решение дифференциальных уравнений
- •6.3. Метод Эйлера Пусть дано дифференциальное уравнение
- •6.4. Уточненный метод Эйлера Рассмотрим дифференциальное уравнение
- •6.6. Методы Рунге – Кутта Пусть дано дифференциальное уравнение
- •6.7. Метод Милна
- •6.8. Приближенное решение систем дифференциальных
- •6.9.Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
- •6.10. Решение краевых задач
- •6.11. Метод прогонки Рассмотрим линейную систему уравнений (6.54). Преобразуя первые (n-1) уравнения:
- •Глава 7. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •7.1. Классификация дифференциальных уравнений
- •7.2. Метод сеток решения краевых задач
- •7.3. Погрешность аппроксимации дифференциальных уравнений
- •7.4. Аппроксимация граничных условий
- •7.6. Метод сеток для уравнений
6.8. Приближенное решение систем дифференциальных
уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков
Рассмотрим систему трех дифференциальных уравнений:
(6.39)
где х – независимая переменная;
y, z, u – искомые функции.
Требуется найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям
.
(6.40)
Обозначим
;
.
(6.41)
После введения новых обозначений система (6.39) запишется в виде
,
(6.42)
а начальные условия (6.40) – в виде
.
(6.43)
Все рассмотренные выше численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка переносятся без изменений на случай системы уравнений. Формальное отличие состоит лишь в том, что в соответствующих соотношениях вместо скалярных величин у, у0, f(x,y) участвуют векторные величины Y, Y0, F(x,Y). Например, расчетная формула метода Эйлера для решения заданной системы (6.42) с начальным условием (6.43) запишется в виде
.
(6.44)
где
.
В развернутом виде формула (6.44) запишется следующим образом:
(6.45)
аналогично поступают и при решении системы другими методами. Например, расчетная формула метода Рунге – Кутта имеет следующий вид:
)
,
где
В развернутом виде каждое из этих соотношений запишется в виде трех соотношений для скалярных величин.
Таким образом между решением одного дифференциального уравнения первого порядка и решением системы дифференциальных уравнений имеется лишь часто количественное различие – число требуемых вычислений растет пропорционально числу неизвестных функций.
П
ример.
Применяя метод Эйлера, найти приближенное
решение системы дифференциальных
уравнений
с начальными условиями
у(0)=0; z(0)=-1
на отрезке [0, 0.3] с шагом y=0.1. Вычисления оформить в виде табл. 6.3.
Таблица 6.3
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 -1 |
1 0 |
0.1 0 |
1 |
0.1 |
0.1 -1 |
1.2 0.4 |
0.12 0.04 |
2 |
0.2 |
0.22 -0.96 |
1.4 0.8 |
0.14 0.08 |
3 |
0.3 |
0.36 -0.88 |
|
|
Приближенное решение системы в последовательных точках находим по формуле (6.44):
;
,
т.е.
,
т.е.
,
т.е.
Отметим, что
решением данной системы являются функции
.
Сравним полученные приближения Y1,
Y2,
Y3
с точными:
;
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка
с начальными условиями
;
;
.
Обозначим
;
;
…;
.
В
этом случае вместо заданного
дифференциального уравнения можно
рассматривать эквивалентную систему
дифференциальных уравнений:
……………….
с начальными условиями
;
;
;
.
Таким образом, дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому на них распространяются все вышерассмотренные методы. Кроме этого, существуют методы, разработанные специально для решения дифференциальных уравнений высших порядков.