Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
К_Л_численные_мет.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
3.55 Mб
Скачать

6.8. Приближенное решение систем дифференциальных

уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков

Рассмотрим систему трех дифференциальных уравнений:

(6.39)

где х – независимая переменная;

y, z, u – искомые функции.

Требуется найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям

. (6.40)

Обозначим

; . (6.41)

После введения новых обозначений система (6.39) запишется в виде

, (6.42)

а начальные условия (6.40) – в виде

. (6.43)

Все рассмотренные выше численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка переносятся без изменений на случай системы уравнений. Формальное отличие состоит лишь в том, что в соответствующих соотношениях вместо скалярных величин у, у0, f(x,y) участвуют векторные величины Y, Y0, F(x,Y). Например, расчетная формула метода Эйлера для решения заданной системы (6.42) с начальным условием (6.43) запишется в виде

. (6.44)

где .

В развернутом виде формула (6.44) запишется следующим образом:

(6.45)

аналогично поступают и при решении системы другими методами. Например, расчетная формула метода Рунге – Кутта имеет следующий вид:

) ,

где

В развернутом виде каждое из этих соотношений запишется в виде трех соотношений для скалярных величин.

Таким образом между решением одного дифференциального уравнения первого порядка и решением системы дифференциальных уравнений имеется лишь часто количественное различие – число требуемых вычислений растет пропорционально числу неизвестных функций.

П ример. Применяя метод Эйлера, найти приближенное решение системы дифференциальных уравнений

с начальными условиями

у(0)=0; z(0)=-1

на отрезке [0, 0.3] с шагом y=0.1. Вычисления оформить в виде табл. 6.3.

Таблица 6.3

0

0

0

-1

1

0

0.1

0

1

0.1

0.1

-1

1.2

0.4

0.12

0.04

2

0.2

0.22

-0.96

1.4

0.8

0.14

0.08

3

0.3

0.36

-0.88

Приближенное решение системы в последовательных точках находим по формуле (6.44):

;

, т.е.

, т.е.

, т.е.

Отметим, что решением данной системы являются функции . Сравним полученные приближения Y1, Y2, Y3 с точными:

; .

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка

с начальными условиями

; ; .

Обозначим

; ; …; .

В этом случае вместо заданного дифференциального уравнения можно рассматривать эквивалентную систему дифференциальных уравнений:

……………….

с начальными условиями

; ; ; .

Таким образом, дифференциальные уравнения высших порядков могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому на них распространяются все вышерассмотренные методы. Кроме этого, существуют методы, разработанные специально для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]