Глава 3. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

3.1. Вводные замечания

Пусть задано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале. Требуется вычислить с заданной точностью действительные корни уравнения. Приближенное вычисление действительных корней уравнений производится в два этапа.

1. Отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых интервалов, каждый из которых содержит один и только один корень уравнения.

2. Вычисление корней с заданной точностью.

3.2. Отделение корней

Для отделения корней можно использовать следующую теорему.

Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка находится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Если производная сохраняет знак на отрезке [a,b], то корень будет единственный.

Процесс отделения корней происходит так. Определяем знаки функции f(x) в ряде точек из области определения функции х₁, х₂, х₃,…, выбор которых учитывает особенности функции f(x). Если окажется, что , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Необходимо тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным.

Пример 1. Отделить действительные корни уравнения:

;

;

X	-1	0	1	2	3
f(x)	-	-	-	-	+

На концах отрезка [2, 3] функция f(x) имеет разные знаки. при всех х. Следовательно, на отрезке [2, 3] находится единственный действительный кореньзаданного уравнения.

Пример 2.

;

;

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	-	-	+	+	-	-	+

Найдены три отрезка, содержащие корни уравнения: [-2; -1], [0; 1], [2; 3]. Так как алгебраическое уравнение третьей степени имеет три корня, каждый из отрезков содержит один корень уравнения.

Для отделения корней можно использовать графические методы. Действительные корни уравнения f(x)=0 представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью 0х. Строим график функции y=f(x) и определяем интервалы, содержащие точки пересечения графика с осью 0х. Иногда удобно представить уравнение f(x)=0 в виде , построить графики функции и и по графику определить интервалы, в которые попадают точки пересечения построенных графиков.

3.3. Метод половинного деления

Пусть дано уравнение f(x)=0 и пусть найден отрезок [a₀, b₀], на котором находится единственный корень уравнения. Обозначим корень уравнения через . Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a₀, b₀] пополам.

Если , то , и задача решена. Если , выбираем ту из половин отрезка [a₀, b₀], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a₁, b₁] снова делим пополам и повторяем те же действия и т.д. (рис.3.1.). В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения, или же последовательность вложенных друг в друга отрезков

[a₀, b₀], [a₁, b₁], [a₂, b₂], …, [a_n, b_n],

таких, что

; (3.1)

; (3.2)

y

0 а₁ b₁

а₀ а₂ b₂ b₀ x

Рис.3.1.

Рассмотрим последовательность а₀, а₁, а₂, а₃,… . Эта последовательность имеет предел, так как она монотонно неубывающая, ограниченная (все ). Последовательность b₀, b₁, b₂, b₃,… также имеет предел, так как она монотонно невозрастающая, ограниченная (все ).

Перейдем к пределу при в равенстве (3.2):

.

Таким образом,

.

Обозначим общий предел этихх последовательностей через с. перейдем к пределу при в неравенстве (3.1):

.

Отсюда , т.е. с – корень уравнения f(x)=0. Таким образом,

.

Если необходимо вычислить корень уравнения с точностью до , деление отрезка [a,b] производим до тех пор, пока . За приближенное значение корня берем среднюю точку отрезка

.

При этом

.

метод половинного деления практически неудобен для вычисления корня с большой точностью ручным способом, так как требует большого объема вычислительной работы. Но он легко реализуется на ЭВМ.

Пример. Вычислить с точностью до действительный корень уравнения .

Обозначим .

Вычисляем f(1)=3 и f(2)=6. Следовательно, на отрезке [1, 2] находится корень заданного уравнения, причем единственный, так как >0 при всех х.

Обозначим а₀=1, b₀=2. Применим метод половинного деления. Деление производим до тех пор, пока (таблю3.1).

Отметим, что можно вычислить грубо, так как требуется только знак этого значения.

Таблица 3.1

0 1 2 3 4	1 1 1.25 1.375 1.4375	2 1.5 1.5 1.5 1.5	1 0.5 0.25 0.125 0.0625	1.5 1.25 1.375 1.4375 1.46875	0.37 -1.58 -0.65 -0.15

Ответ: .

3.4. Метод хорд

Дано уравнение f(x)=0. Пусть найден отрезок такой, что на концах его функция имеет разные знаки, т.е. . Пусть, кроме этого производные и на отрезке сохраняют знак. Положим для определенности , , , при . За приближенное значение корня принимаем точку пересечения с осью 0х хорды, проходящей через точки , (рис.3.2).

у

B₀

а₀ а₁ а₂ b₀

y=f(x)

0 х

А₀ А₁

Рис. 3.2

Составим уравнение хорды:

.

Найдем точку пересечения с осью 0х, положив у=0. Обозначим абсциссу точки пересечения хорды с осью 0х через а₁:

.

Принимая а₁ за конец нового отрезка [a₁,b₀] , можно снова провести хорду и получить второе приближение корня а₂:

и т. д.

(n=0,1,2,…).

Докажем сходимость этого процесса. Рассмотрим последовательность а₀, а₁, а₂, … .Это – монотонно возрастающая ограниченная последовательность

а₀<a₁<a₂<…<a_n<…<b₀

имеющая предел. Пусть . Переходим к пределу при в равенстве (3.3):

.

Отсюда f(c)=0 , т.е. с – корень уравнения. Так как на отрезке [a₀,b₀] корень единственный , получаем .

Таким образом , последовательность а₀ ,а₁, а₂,… сходится и в пределе дает корень уравнения .

Аналогично показывается сходимость для остальных случаев.