5. . Конечные разности и их свойства

Пусть известны значения некоторой функции y=f(x) для равноотстоящих значений аргумента :

, , …, .

Постоянная величина h называется шагом таблицы.

Конечными разностями первого порядка называются величины , , …, … . Аналогично вводятся конечные разности второго порядка , , …, , … и т.д. Конечные разности

(m+1) порядка определяются через конечные разности m-го порядка следующим образом:

; ; …; .

Табл. 1.1 конечных разностей для функции y=f(x) обычно записывают в следующем виде,

Таблица 1.1.

х	y
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3
x4	y4

Приведенная таблица называется диагональной таблицей конечных разностей. Иногда используется горизонтальная таблица разностей (х₀, y₀, , , и т.д. располагаются в одной верхней строке).

Если табличные значения функции заданы с одинаковым числом десятичных знаков, то при оформлении таблицы конечных разностей разности записываются в единицах последенго разряда табличных значений функции без нулей впереди.

Так, например, табл. 1.2 конечных разностей для функции будет выглядеть следующим образом .

Таблица 1.2

х	y
2.0	0.6931
		488
2.1	0.7419		-22
		466		0
2.2	0.7885		-22		4
		444		4
2.3	0.8329		-18
		426
2.4	0.8755

Свойства конечных разностей

1. Конечная разность суммы двух функций равна сумме конечных разностей слагаемых и .

2. Если , где с – постоянный множитель, то

Свойства 1 и 2 верны для конечных разностей любого порядка и следуют из определения конечных разностей.

3. Конечная разность порядка n от многочлена степени n равна постоянной величине, и, следовательно, конечные разности более высокого порядка равны нулю.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

.

Покажем, что конечная разность первого порядка представляет собой многочлен степени (n-1).

Действительно, имеем

.

Аналогично получаем

и т.д.:

,

.

4. Разность порядка k можно выразить непосредственно через табличные значения функции.

Покажем это. По определению конечных разностей имеем:

;

;

.

При помощи метода математической индукции можно показать, что

. (1.14)

Запишем выражение (1.14) в компактной форме. Для этого введем оператор Е, применение которого к функции f(x) увеличивает ее аргумент на величину h:

; ; ; .

Формулу (1.14) можно записать в следующем виде:

.

Это символическое равенство следует понимать так. Выражение записывается по формуле бинома Ньютона и полученный многочлен умножается на y_m.

5. Табличные значения функции могут быть выражены через конечные разности различных порядков.

По определению

,

отсюда

.

Аналогично

,

отсюда

.

При помощи метода математической индукции можно показать, что

. (1.15)

Эту формулу можно записать компактно в символической форме:

.