4.4. Некоторые сведения из линейной алгебры

1. Сходимость последовательностей векторов и матриц. Пусть в n–мерном пространстве задана последовательность векторов

(к=1, 2, …).

Вектор называется пределом этой последовательности, если существуют n конечных пределов и

.

Последовательность Х^(к) н называется сходящейся к вектору Х. Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц , пределом этой последовательности называют матрицу А с элементами при условии, что все эти n² пределов существуют.

Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по составляющим, или покомпонентной сходимостью.

2.Нормы векторов и матриц. Введем понятие нормы вектора, обобщающее понятие длины вектора. Нормой вектора Х называется действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. при и ;

2. при любом числовом множителе с;

3. .

(Вместо второго и третьего уравнений можно записать условие ). Вводить норму вектора можно различными способами, только бы выполнялись условия пп. 1 – 3. Укажем наиболее применимые нормы векторов:

1.) (4.20)

2.) (4.21)

3.) (евклидова норма). (4.22)

Третья норма вектора – это длина вектора. Можно проверить, что для всех трех норм выполняются условия пп. 1 – 3.

Рассмотрим понятие нормы матрицы. Нормой квадратной матрицы Ф называют число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. при и ;

2. при любом числовом множителе с;

3. ;

4. .

Норма матрицы может быть введена различными способами. В большинстве задач приходится одновременно рассматривать и матрицы, и векторы. Поэтому целесообразно вводить норму матрицы так, чтобы она была разумным образом связана с нормой вектора, введенной в рассматриваемой задаче. Норма матрицы А согласована с нормой вектора, если для любой матрицы А порядка n и любого вектора Х размерности n выполняется неравенство:

. (4.23)

Норму матрицы, согласованную с заданной нормой вектора, можно ввести несколькими способами. Отметим наиболее применимые на практике нормы матриц:

1. (4.24)

Эта норма матрицы согласована с первой нормой вектора (4.20).

2. (4.25)

Эта норма матрицы согласована со второй нормой вектора (4.21).

3. , (4.26)

где - наибольшее собственное значение матрицы А*А (А* матрица, комплексно сопряженная с транспонированной матрицей А^/).

Эта норма матрицы согласована с третьей нормой вектора (4.22). на практике иногда используется норма матрицы

. (4.27)

Эта норма матрицы также согласована с третьей нормой вектора (4.22).

В начале параграфа была рассмотрена сходимость последовательности векторов и матриц по компонентам. Введем понятие сходимости по норме.

Последовательность векторов Х^(к) сходится к вектору Х по норме, если при . Можно доказать, что в конечномерном пространстве сходимости по норме и по компонентам равносильны. Покажем справедливость этого утверждения для трех введенных нами норм векторов (формулы (4.20) – (4.22)). Пусть имеет место покомпонентная сходимость, т.е.

.

Покажем, что отсюда следует сходимость по норме. Действительно

при ;

при ;

при .

Покажем также, что на сходимости по норме следует сходимость по компонентам. Пусть

.

Тогда

.

Отсюда

.

Пусть

или .

Отсюда вытекает, что

так как первая норма вектора не превышает второй и третьей норм. А выше показано, что из условия вытекает покомпонентная сходимость.

Итак, показано, что покомпонентная сходимость последовательности векторов равносильна сходимости по норме.

Аналогично можно определить сходимость по норме последовательности матриц и показать, что сходимость по норме равносильна сходимости по компонентам.

4.5. Метод простой итерации