4.2. Вычисление определителей

при помощи метода Гаусса

Рассмотрим для простоты определитель третьего порядка

(4.15)

Пусть . Вынося из первой строки за знак определителя, получим

1

где (j=2, 3) вычисляются по формулам (4.3). Умножаем первую строку определителя последовательно на и и вычитаем ее из второй и третьей строк соответственно:

1

0 = , (4.16)

0

где (i=2, 3; j=2, 3) вычисляются по формулам (4.5).

Этим мы снизили порядок определителя на единицу. Применим к полученному определителю те же преобразования. Выносим из первой строки за знак определителя:

1

,

где вычисляется по формуле (4.7).

Умножаем первую строку полученного определителя на и вычитаем ее из второй строки определителя. Получаем

1

0 = . (4.17)

Таким образом, определитель равен произведению ведущих элементов схемы Гаусса. Все ведущие элементы должны быть отличны от нуля. Если для какого-нибудь шага ведущий элемент равен нулю или близок к нулю, следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбцов матрицы.

П ример. Вычислить при помощи метода Гаусса определитель

2 1 4

3 2 -1

-4 1 3 .

Вычисления удобно оформить в виде табл. 4.3.

Таблица 4.3

Превый столбец	Второй столбец	Третий столбец
-2	1	4	7
3	2	-1	4
-4	1	3	0
1	1/2	2	7/2
	1/2	-7	-13/2
	3	11	14
	1	-14	-13
		53	53

Последний столбец страницы служит для контроля вычислений.

4.3. Вычисление обратной матрицы

при помощи метода Гаусса

Пусть дана неособенная матрица А:

…

А = …

… … … …

…

Требуется найти матрицу, обратную данной. Обозначим

…

Х=А^-1 …

… … … …

…

По определению обратной матрицы , где Е – единичная матица, т.е.

. (4.18)

Пусть

К-й столбец матрицы , а

к-й столбец единичной матрицы.

Тогда равенство (4.18) можно заменить следующими равенствами:

. (4.19)

Таким образом, определение элементов обратной матрицы эквивалентно решению n систем линейных алгебраических уравнений вида . Все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов А, а отличаются только свободными членами. Поэтому решение этих n систем можно объединить в одну схему, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

1 2 -1

0 1 3

2 -1 -2 .

Вычисление оформить в виде табл. 4.4.

Таблица 4.4

1	2	-1	1	0	0	3
0	1	3	0	1	0	5
2	-1	-2	0	0	1	0
	1	3	0	1	0	5
	-5	0	-2	0	1	-6
		15	-2	5	1	19
		1	-2/15	5/15	1/15	19/15
		1	=2/15	=5/15	=1/15	19/15
	1		=6/15	=0	=-3/15	18/15
1			=1/15	=5/15	=7/15	28/15

Ответ:

1 5 7

6 0 -3

-2 5 1 .