Тема 3: Интерполирование и приближение функций

1. Задача интерполяции состоит в следующем:

1) вычислить приближенно с точностью ε > 0 определенный интеграл

, где f(x) – непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз на отрезке [a,b] функция

2). надо построить функцию у = φ(х) которая была бы достаточно близкой на отрезке [x₀,x_n] к функции y₁ = f(x) и просто вычислялась, т.е. φ(х) ≈ f(x) , х ≠ х_i

3)Найти решение дифференциального уравнения первого порядка y’=f(x,y) удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀

Ответ 2

2. Формула линейной интерполяции имеет вид:

1) , для любого х [х_i,x_i+1]

2)

3)

4) , i = 0,1,2…

Ответ 1

3.Сплайном называется:

1. функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [х₀,x_n] , а на каждом частичном отрезке [х_i,x_i+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом;

2. Функция φ(х) в виде алгебраического интерполяционного многочлена

3. Интерполяционная последовательность , которая находится по формуле

, n = 0,1,2,…

Ответ 1

4. Существование и единственность интерполяционного многочлена обосновывается:

1. отличием от нуля определителя Вандермонда для системы n+1 уравнений с n+1 неизвестными

, полученной для многочлена

2. равенством нулю определителя Вандермонда для системы n+1 уравнений с n+1 неизвестными

, полученной для многочлена

3) условием , где C = const, зависящая от m

Ответ 1

4. Определитель Вандермонда для системы несовпадающих точек

имеет вид:

1)

2)

3)

Ответ 1

Тема 4: Численное решение обыкновенных дифференциальтных уравнений.

1. Приближенно решение дифференциального уравнения y’=x²-y², удовлетворяющее начальному условию у(0)=1, найденному в виде разложения в ряд Маклорена с первыми четырьмя членами , имеет вид:

1)

2)

3)

Ответ 2

2. По методу степенных рядов точное решение у(х) дифференциального уравнения y’=f(x,y) приближенно представляется в виде:

1. сходящегося в интервале [a-h, a+h] степенного ряда Тейлора с конечным числом членов:

2. функционального ряда

3. знакочередующегося ряда

Ответ 1

3. Постановка задачи при приближенном решении уравнения y’=f(x,y) по методу Эйлера заключается:

1) в каждой из (n+1) предварительно выбранных точек x₀,x₁,..x_n точного решения уравнения y’=f(x,y) находим его приближенное значение y_i (x_i) по формуле: , где

2) в каждой из (n+1) предварительно выбранных точек x₀,x₁,..x_n точного решения уравнения y’=f(x,y) находим его приближенное значение y_i (x_i) по формуле: , где

3. в каждой из (n+1) предварительно выбранных точек x₀,x₁,..x_n точного решения уравнения y’=f(x,y) находим его приближенное значение y_i (x_i) по формуле: , где

Ответ 3

4. Метод Эйлера основан :

1) на приближенном вычислении призводной f(x_i,y_i) с помощью разностного отношения: , где , , i=0,1,2….n

2) на представлении точного решения по формуле:

3) на повышении точности расчетов по формуле:

ответ 1

5. В практике метода Рунге – Кутта приращения функции вычисляют по формуле:

   1. , где величины чисел k₁,k₂,k₃,k₄ находим по формулам:

2. , где величины чисел k₁,k₂,k₃,k₄ находим по формулам:

3. , где величины чисел k₁,k₂,k₃,k₄ находим по формулам:

Ответ 1

6. Для получения приближенного решения дифференциального уравнения y’=f(x,y), у(х₀)=у₀ по методу Рунге – Кутта целесообразно применять следующую последовательность вычислений:

1) - выбрать шаг вычислений h;

- вычислить числа при заданных значениях х₀ и у₀ и выбранном значении h;

- определить приращение функции ;

- получить значение функции в первой точке , ;

- аналогично вычислить числа в первой точке при полученных значениях х₁ и у₁, приращение функции и значение функции во второй точке , и т.д.

2) - выбрать шаг вычислений h;

- вычислить числа при заданных значениях х₀ и у₀ и выбранном значении h;

- определить приращение функции ;

- получить значение функции в первой точке , ;

- аналогично вычислить числа в первой точке при полученных значениях х₁ и у₁, приращение функции и значение функции во второй точке , и т.д.

3) - выбрать шаг вычислений h;

- вычислить числа при заданных значениях х₀ и у₀ и выбранном значении h;

- определить приращение функции ;

- получить значение функции в первой точке , ;

- аналогично вычислить числа в первой точке при полученных значениях х₁ и у₁, приращение функции и значение функции во второй точке , и т.д.

Ответ 3

7. Основная идея решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге – Кутта заключается в следующей последовательности вычислений:ъ

1)- выбрать шаг вычислений h;

- определить точки вычислений и в каждой точке вычислить приращение искомых функций и по формулам: , , где

- вычислить значения функций по формулам: ,

2)- выбрать шаг вычислений h;

- определить точки вычислений и в каждой точке вычислить приращение искомых функций и по формулам: , , где

- вычислить значения функций по формулам: ,

3) - выбрать шаг вычислений h;

- определить точки вычислений и в каждой точке вычислить приращение искомых функций и по формулам: , , где

- вычислить значения функций по формулам: ,

Ответ 1

Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем операционным методом основано на применении преобразования функции F(t)f( действительного переменного t R в функцию F(p) комплексной переменной р С с помощью выражения:

1) ;

2) ;

3)

Ответ 1

2. Функция F(p) комплексной переменной р, получаемая с помощью формулы называется:

1. оригинальным изображением для f(t)

2. изображением для f(t)

3. оригиналом для f(t)

Ответ 2

3. Функция f(t) называется оригиналом, если соответствует следующим требованиям:

1. - f(t)=0 при t<0

- при t≥0 , М, σ – некоторые числа

- f(t) на любом конечном отрезке [0, ] имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода, причем f(t) = f(0)

2. - f(t)=0 при t=0

- при 0<t<1 , М, σ – некоторые числа

- f(t) на любом конечном отрезке [0, ] имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода, причем f(t) = f(0)

3. - f(t)=0 при t>0

- при t≤0 , М, σ – некоторые числа

- f(t) на любом конечном отрезке [0, ] имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода, причем f(t) = f(0)

Ответ 1

4. Интегралом Лапласа называется интеграл вида:

1)

2)

3)

Ответ 3

5. Оригинал функции f(t)=1. Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1. F(p)=

2. F(p)=1

3. F(p)=

Ответ 1

6. Оригинал функции f(t)= . Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3)F(p)=

Ответ 2

7. Оригинал функции f(t)= Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3) F(p)=

Ответ 3

8. Оригинал функции f(t)=cosβt . Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3)F(p)=

Ответ 1

9. Оригинал функции f(t)= Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3)F(p)=

Ответ 1

10. Оригинал функции f(t)= Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3) F(p)=

Ответ 2

11. Оригинал функции f(t)= Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3) F(p)=

Ответ 1

12. Оригинал функции f(t)= . Тогда его изображение F(p) имеет вид:

1) F(p)=

2) F(p)=

3) F(p)=

Ответ 3

13. Изображение f’(t) будет равно:

1) f’(p)

2) p²F(p) - pf(0) – f’(0)

3) pF(p) - f(0)

Ответ 3

14. Изображение f”(t) будет равно:

1) p²F(p) - pf(0) – f’(0)

2) pF(p) - f(0)

3) f”(p)

Ответ 1

15. Изображение y”(t) – y’(t) – y(t), если y(0)=y’(0)=0 и будет иметь вид:

1)

2)

3)

Ответ 2

16. При решении дифференциального уравнения y” – 2y’- 3y = операционным методом получим

1)

2)

3)

Ответ 1

17. Решение системы дифференциальных уравнений , найденное операционным методом имеет вид:

1)

2)

3)

Ответ 1

Тема: Статистическое моделирование и обработка экспериментальных данных.

1. Под статистической моделью нормальной случайной величины Х с параметрами М(х) и σ(х) понимают:

1) эмпирический закон распределения выборочных средних квадратических отклонений σ_b;

2) эмпирический закон распределения выборочных средних х_b;

3) эмпирический закон распределения плотности относительных частот нормальной случайной величины Х с выборочным средним х_b и выборочным средним квадратическим отклонением σ_b;

Ответ 3

2.Статистическая модель строится на основе функции Лапласа, которая имеет вид:

1)

2)

3)

Ответ 1

3.Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал находится по формуле:

1)

2)

3)

Ответ 2

4.Для построения статистической модели нормальной случайной величины Х необходимо с равной вероятностью выбрать 100 значений x_i из нормального распределения случайной величины Х при заданных М9х) и σ(х) и произвести статистическую обработку полученной выборки. Каждое значение x_i определяется по формуле:

1)

2)

3)

Ответ 1

5.Под случайными числами r_i понимают:

1) возможные отдельные значения непрерывной случайной величины R, равномерно распределенной в интервале (-∞, 0);

2) возможные отдельные значения непрерывной случайной величины R, равномерно распределенной в интервале (1,+∞);

3) возможные отдельные значения непрерывной случайной величины R, равномерно распределенной в интервале (0,1);

Ответ 3

Тема: Численное интегрирование.

1. Формула прямоугольников для приближенного вычисления интеграла имеет вид:

1) , где

2) , где

3) , где

Ответ 1

2. Формула трапеций для приближенного вычисления интеграла имеет вид:

1) , где

2) , где

3) , где

Ответ 2

3. Формула Симпсона для приближенного вычисления интеграла имеет вид:

1) , где

2) , где

3) , где

Ответ 3

Тема : Решение задач линейного программирования.

1. Ограничение задачи линейного программирования имеет предпочтительный вид, если:

1) левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным нулю, а в остальные ограничения – с коэффициентом, равным единице;

2) левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным двум, а в остальные ограничения – с коэффициентом, равным единице;

3) левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения – с коэффициентом, равным нулю;

Ответ 3

2. Переменные являются базисными, если они входят в предпочтительное ограничение с коэффициентом, равным:

1) 1, а в остальные – с коэффициентом, равным 0;

2) -1, а в остальные – с коэффициентом, равным 0;

3) 2, а в остальные – с коэффициентом, равным 1;

Ответ 1

3. Условие задачи линейного программирования записывается в таблицу, которая называется:

1. квадратной;

2. симплексной ;

3. прямоугольной.

Ответ 2

4. Из перечисленных правил выберите правила преобразования симплексной таблицы:

1) Чтобы получить элемент новой таблицы нужно из соответствующего элемента прежней таблицы вычесть величину ; элементы разрешающей строки разделить на ;

2) Если задача имеет решение, то после некоторого конечного числа шагов придем к тому, что все числа в нулевой строке будут неотрицательными;

3) Выделяя при помощи полученной таблицы предпочтительные переменные (в соответствующем столбце – один элемент равен 1, а остальные 0), находим оптимальное решение;

4) Чтобы получить элемент новой таблицы нужно из соответствующего элемента прежней таблицы вычесть величину ; элементы разрешающей строки разделить на ;

5) Если задача имеет решение, то после некоторого конечного числа шагов придем к тому, что все числа в нулевой строке будут равны нулю;

Ответ 1,2,3