Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская открытая академия транспорта МИИТ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задача 2 пример решения

.docx

Скачиваний:

194

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

152.39 Кб

Скачать

☆

Задача 2

Условие задания.

Пользуясь критерием устойчивости Михайлова, Найквиста определить устойчивость одноконтурной системы управления, имеющую в разомкнутом состоянии передаточную функцию вида

в формулу проставить значения К, а, b и с по варианту.

W(s) =, (1)

Построить годографы Михайлова и Найквиста. ~~Определить частоту среза системы.~~

Определить критическое значение коэффициента усиления системы.

Решение.

Задачи анализа и синтеза систем управления решаются с помощью такого мощного математического аппарата, каким является операционное исчисление (преобразование) Лапласа. Задачи анализа и синтеза систем управления решаются с помощью такого мощного математического аппарата, каким является операционное исчисление (преобразование) Лапласа. Общее решение операторного уравнения представляет собой сумму слагаемых, определяемых значениями корней характеристического полинома (многочлена):

D (s) = d sⁿ d_n).

Построение годографа Михайлова.

А) Выписываем характеристический многочлен для замкнутой системы, описываемой уравнением (1)

D (s) = 50 + (25s+1)(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625+50s+1)(0,001+0,11s+1) =0,625+68,85+630,501+50,11s+51.

Корни многочлена D (s) могут быть: нулевыми; вещественными (отрицательными, положительными); мнимыми (всегда парными, сопряженными) и комплексными сопряженными.

Б) Преобразуем к виду s→ ωj

D()=0,625+68,85+630,501+50,11+51=0,625ω-68,85jω- 630,501ω+50,11jω+51

ω – частота сигнала, j = (1)^1/2 – мнимая единица. J⁴ =(-1)^4/2=1, J³ =(-1)^3/2=-(1)^1/2= - j, J² =(-1)^2/2=-1, J =(-1)^1/2= j,

В) Выделим действительную и мнимую часть.

D = U()+jV(), где U() – действительная часть, а V() – мнимая часть.

U(ω) =0,625ω-630,501ω+51

V(ω) =ω(50,11-68,85ω)

Г) Построим годограф Михайлова.

Построим годограф Михайлова вблизи и сдали от нуля, для этого построем D(jw) при изменении w от 0 до +∞. Найдем точки пересечения U(w) и V(w) с осями. Решим задачу с использованием MicrosoftExcel.

-задаем значения w в диапазоне от 0 до 0,0001 до 0,1, рассчитаем в табл. Excel значения U(ω) и V(ω), D(ω); находим точки пересечения U(w) и V(w) с осями,

-задаем значения w в диапазоне от 0,1 до 20, рассчитаем в табл. Excel значения U(w) и V(w), D; находим точки пересечения U(w) и V(w) с осями.

Таблица 2.1 – Определение действительной и мнимой частей и самого многочлена D()с использованием MicrosoftExcel

ω	0,0001	0,001	0,003	0,006	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1
U(ω)	51	51	51,0	51,0	50,9	50,7	50,4	50,0	49,4	48,7	47,9	47,0	45,9	44,7
V(ω)	0,005	0,05	0,15	0,298	0,494	0,975	1,4413	1,8942	2,333	2,7587	3,17	3,5682	3,952	4,3225
D	51,005	51,05	51,14	51,28	51,43	51,72	51,874	51,885	51,76	51,489	51,08	50,533	49,845	49,018
ω	0,1	0,2	0,3	0,5	0,7	0,8	1,0	2	5,0	7,5	10,0	12,5	15,0	20
U(ω)	44,70	25,78	-5,74	-107	-258	-352,3	-578,9	-2461	-15321	-33437	-56749	-83206	-110171	-152149
V(ω)	4,32	7,27	8,84	7,843	1,341	-3,976	-18,74	-175,2	-1471	-3497	-6384	-10131	-14740	-26538
D	49,02	33,05	3,10	-98,7	-256	-356,2	-597,6	-2636	-16792	-36934	-63133	-93337	-124911	-178687

Рис. А, Б, ….. Зависимости U(ω) и V(ω), D(ω) от ω

По рис. А, Б, …..находим точки пересечения U(w) и V(w) с осями:

при ω = 0 U(ω)= …. и V(ω)= ……

Рис.1. Годограф Михайлова при ω = 0:000,1:0,1.

Рис.2. Годограф Михайлова при ω = 0,1:20

Д) Выводы об устойчивости системы по годографу.

Устойчивость (как понятие) любой динамической системы определяется ее поведением после снятия внешнего воздействия, т.е. ее свободным движением под влиянием начальных условий. Система является устойчивой, если она возвращается в исходное состояние равновесия после прекращения действия на систему сигнала (возмущения), выведшего ее из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно со временем удаляется от него. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать свободную составляющую решения уравнения динамики, т.е решения уравнения:.

D (s) = d sⁿ d_n)=0.

Проверить устойчивость системы с помощью критерия Михайлова:

Критерий Михайлова: Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.1 и рис.2), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ∞ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Из решения видно (см. рис.1 и рис.2), что годограф удовлетворяет следующим условиям критерия: Начинается на положительной вещественной полуоси при w = 0. Годограф не удовлетворяет следующим условиям критерия: не обходит в положительном направлении все 4 квадранта (степень полинома n=4) при ω.

Делаем вывод, что данная разомкнутая система не устойчива.

Построение годографа Найквиста.

А) Произведем замену в формуле (1) s→ ωj

W(s) = =,

Б) Раскроем скобки и выделим действительную и мнимую часть в знаменателе

W() =,

В) Умножим на сопряженное и выделим действительную и мнимую часть

где U() – действительная часть, а V() – мнимая часть.

Г) Построим годограф Найквиста: - зависимость W() от .

Рис.3. Годограф Найквиста.

Д) Проверим устойчивость системы с помощью критерия Найквиста:

Критерий Найквиста: Для того чтобы система, которая в разомкнутом состоянии была устойчива, была устойчива и в замкнутом, необходимо, чтобы годограф Найквиста при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывал точку с координатами (-1; j0).

Из решения видно (см. рис.3), что годограф удовлетворяет всем условиям критерия: