6.1.7. Решение уравнений и систем.
Решение одного уравнения с одним неизвестным. Функция root(f(x),x).
Пример 6.1.11. Решить уравнение x3–ex=0.
Определяем начальное значение переменной х {х:3}. Оно влияет на результат, если выражение имеет несколько корней. Затем подставляем заданное выражение в функцию:
{root(х^3–е^х,х)=} (см. рис. 6.1.13).
Решение системы уравнений Функция Find(x,y,z,…). Допустимо использовать ограничения на искомое решение в виде неравенств: >, <, ([Ctrl]O), ([Ctrl]9).
Пример 6.1.12.
Найти решение системы уравнений
.
Задаем начальные значения {х:1},{y:1} и ключевое слово {Given} (см. рис. 6.1.13). Затем вводим уравнения, ограничения и функцию Find:
{х^2+y^2Ctrl=6}, {х+yCtrl=2}
{хCtrl91}, {y>2}, {Find(x,y)=}
Символьное решение уравнений. Для этого:
Печатаем выражение.
Щелкаем по переменной, относительно которой решается уравнение.
В меню Символика() выбираем команду Решить относительно переменной().
Пример 6.1.13.
Решить уравнение
.
Печатаем{х^2/2+x+2} Символика() Решить относительно переменной() (см. рис. 6.1.13).
Рис. 6.1.13.
Символьное решение систем. Для этого используется функция Find (см. рис. 6.1.13).
Пример 6.1.14.
Решить систему
.
Вводим {Given}, {х+2*CtrlP*yCtrl=a}, {4*х+yCtrl=b}, {Find(x,y) Ctrl. } (см. рис. 6.1.14).
Рис. 6.1.14.
6.1.8. Функции линейной и сплайн интерполяции.
Пусть зависимость вида y(x) задана рядом значений х и y в узловых точках. В системе MathCAD 6.0+ возможно получение промежуточных точек зависимости y(x) посредством линейной или сплайн интерполяции.
interp(vx,vy,x) возвращает оценку значения в точке x, вычисленную методом линейной интерполяции на основе значений из векторов vx и vy.
Аргументы:
vx есть вещественный вектор, элементы которого должны идти в порядке возрастания. Они соответствуют значениям х.
vy есть вещественный вектор одного размера с vx. Его элементы соответствуют значениям y.
x есть значение переменной х, в которой нужно проинтерполировать значение у. Предполагается, что x лежит в интервале изменения элементов vx.
cspline(vx,vy) возвращают вектор коэффициентов, используемый функцией interp для построения кубического сплайна, который интерполирует значения, представленные в векторах vx и vy. При этом на поведение сплайна на границе области никаких ограничений не накладывается.
Аргументы:
vx есть вещественный вектор, элементы которого должны идти в порядке возрастания. Они соответствуют значениям х.
vy есть вещественный вектор одного размера с vx. Его элементы соответствуют значениям y.
vs есть результат, возвращаемый функцией csplinе.
x есть значение переменной х, в которой нужно проинтерполировать значение у. Предполагается, что x лежит в интервале изменения элементов vx.
interp(vs,vx,vy,x) возвращает интерполируемое значение в точке x. Вектор vs есть результат, возвращаемый одной из функций cspline, pspline или lspline.
Пример 6.1.15. Найти линейную и сплайн-интерполяции зависимости y(x), заданной значением х и y в узловых точках:
Х=(0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2)Т, Y=(0, 50, 20, 3, 4, 14, 55)Т
и построить соответствующие графики.
Решение. Загружаем MathCAD 6.0+ (см. §6.1.1). Задаем две матрицы столбца Х и Y размерности 71 (см. §6.1.5). Функция linterp позволяет вычислить значения искомой зависимости y(x) для промежуточных значений х, равных, например, 0.15 и 0.5 {linterp(X,Y,0.15)=}, {linterp(X,Y,0.5)=} (см. рис. 6.1.15).
Определяем вектор S вторых производных для сплайн-интерполяции {S:cspline(X,Y)} и находим значения y(x) в тех же точках х при сплайн-интерполяции {interp(S,X,Y,0.15)=}, {interp(S,X,Y,0.5)=}.
Строим графики (см. §6.1.4) линейной и сплайн-интерполяции S(x) и отмечаем узловые точки крестиками. Дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку Графики. Открывшееся диалоговое окно позволяет определить тип графика, вид маркеров, толщину, цвет и вид линий.
П
ечатаем
{i:0;6},
{x:–0.05,–0.04;1.2},
{L(x)linterp(X,Y,x)},
{S(x)interp(S,X,Y,x)}.
Документ с решением
примера 6.1.15 представлен на рис. 6.1.15.
Рис. 6.1.15