2. Траектория, путь и перемещение. Радиус-вектор. Кинематические уравнения.

Траектория – это линия, вдоль которой движеся тело.

Путь – длина этой линии, измеряемая в метрах в системе СИ.

Для описания положения материальной точки в данный момент времени относительно некоторой системы отсчета вводят понятие радиус-вектора.

Радиус-вектор (от слова radius - “луч”) – это вектор, проведенный из начала координат к точке. В декартовой прямоугольной системе координат конец этого вектора имеет координаты

,

или

,

где – единичные векторы (орты) в направлении осей координат x,y,z соответственно.

по теореме Пифагора.

Заметим, что радиус-вектор зависит от выбора системы отсчета. Однако изменение радиус-вектора:

не зависит от системы отсчета и называется перемещением. Перемещение, как и радиус-вектор, в СИ измеряется в метрах и является вектором с началом в начальной и концом в конечной точке движения. Очевидно, что величина (модуль) перемещения в общем случае не равна пройденному пути.

Главной задачей кинематики является установление закона, по которому движется тело, с тем чтобы уметь в любой момент времени находить его положение (радиус-вектор). Зависимость

называется кинематическими уравнениями (фактически это три уравнения).

3. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение.

Если за время t тело совершило перемещение , то говорят, что оно двигалось со средней скоростью

.

Скорость, таким образом, характеризует быстроту перемещения. При нахождении средней скорости и время, и перемещение могут быть сколь угодно большими.

Можно говорить и о средней скорости на пути :

.

Очевидно, что .

Будем уменьшать промежуток времени:

,

при этом .

В пределе при получим мгновенную скорость, т.е. скорость тела в момент времени :

-

производная радиус-вектора по времени.

Если скорость постоянна, то такое движение называют равномерным. Однако в общем случае скорость зависит от времени.

Быстроту изменения скорости характеризует ускорение:

В пределе при t  0 получим мгновенное ускорение, т.е. ускорение тела в момент времени :

-

производная скорости по времени или вторая производная радиус-вектора по времени.

Движение с постоянным ускорением называют равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным), но в общем случае ускорение зависит от времени.

Итак, зная кинематические уравнения движения тела, можно определить его скорость и ускорение в любой момент времени, т.е. полностью описать движение. Верно и обратное: зная зависимость ускорения от времени и начальные условия (скорость и радиус-вектор в начальный момент времени), можно получить уравнение движения тела. Действительно, если , , то

,

.

4. Движение материальной точки по окружности. Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Движение материальной точки по окружности – особый частный случай движения вообще, о котором говорилось выше. Его математическое описание существенно упрощается благодаря тому, что для определения местоположения точки на окружности достаточно всего одной координаты. Особенно важно, что такое движение широко распространено в природе. Например, движение почти всех планет Солнечной системы происходит по орбитам, весьма близким по форме к круговым.

Поместим начало координат (тело отсчета) в центр окружности, и пусть радиус-вектор точки в начальный момент времени был , а в конечный - . Тогда угол  между векторами и называется углом поворота. Угол  – скаляр, его знак определяется по правилу правого винта (буравчика), размерность – радиан (безразмерное число).

Изменение угла поворота называется угловым перемещением:

.

Быстрота углового перемещения называется угловой скоростью:

– средняя угловая скорость;

– мгновенная угловая скорость.

Размерность угловой скорости – рад/с.

Быстрота изменения угловой скорости называется угловым ускорением:

– среднее угловое ускорение;

– мгновенное угловое ускорение.

Размерность углового ускорения – рад/с².

Движение по окружности – всегда ускоренное. Ведь скорость имеет не только величину (модуль), но и направление. Даже если скорость v постоянна по величине, то имеется ускорение, направленное к центру окружности и отвечающее за изменение направления скорости. Эту составляющую полного ускорения называют нормальной, она в любой момент времени равна

a_n = v²/R = ω²R.