5.9. Уравнения количества движения и момента количества движения

Уравнения Эйлера, Навье — Стокса и Рейнольдса дают связь между параметрами движущейся среды в каждой точке пространства, занятого жидкостью. Чтобы описать движение конечной массы жидкости, нужно получить решение этих уравне­ний, т. е. решить общую задачу гидромеханики. Вследствие математических трудностей это удается сделать далеко не во всех случаях. Между тем есть немало технических задач, в которых не требуется знать скорости и давления во всех точках жидкости, а достаточно определить некоторые интегральные величины, например силы воздействия потока на ограничивающие твердые поверхности или обтекаемые тела.

Р ис. 5.9. Схема для вывода уравнений количества движения и момента количества движения

Для решения таких задач эффективным является применение интегральных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована на конкретных примерах в гл. 6, 7 и др.; в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера.

Рассмотрим установившееся движение жидкого объема W, ограниченного поверхностью S, и зафиксируем положение последней в некоторый момент t (рис. 5.9); В дальнейшем эту поверхность будем называть контрольной.

Выделим на ней малую площадку S, определяемую нормалью n. За время dt через площадку S протекает жидкость массой u_nSdt, а проносимое вместе с ней количество движения равно u_nSudt =  (dK), где символ  означает дифференцирование по поверхности, К — главный вектор количества движения жидкого объема. Важно заметить, что > 0 для тех площадок S, через которые жидкость вытекает из объема W (u_n > 0), и (dK) < 0 для площадок, через которые жидкость втекает в объем W (u_n < 0). Следовательно, выражение

представляет собой разность количеств движения вынесенного и внесенного в объем W за время dt жидкостью, протекшей за это время через поверхность S. В силу установившегося характера движения величина dK будет полным изменением количества движения жидкости в объеме W за время dt. Таким образом,

(5.70)

Этот результат показывает, что производная no времени количества движения жидкости в произвольном объеме равна потоку количества движения через поверхность, ограничивающую этот объем.

Теперь, заменив обозначение  на d, уравнение количества движения (3.8) можно записать в виде

(5.71)

и прочитать как теорему: при установившемся движения жидкого объема главный вектор внешних сил, действующих на заключенную в нем жидкость, равен потоку количества движения через контрольную поверхность.

Изложенным выше способом мы определили только конвективную производную количества движения. В общем случае неустановившегося движения для того чтобы найти изменение количества движения, следует брать индивидуальную производную, включающую также и локальную часть:

(5.72)

а уравнение количества движения должно быть записано в виде

(5.73)

Уравнение (5.71) связывает главный вектор поверхностных сил со значениями скоростей на контрольной поверхности.

Для определения силового воздействия жидкости на твердые тела достаточно знать распределение скоростей только по контрольной поверхности. Последнюю можно выбирать произвольно, однако (по практическим соображениям) так, чтобы скорости на ней наиболее просто определялись из условий задачи. Область или объем, ограниченные контрольной поверхностью, могут быть и не односвязными — внутри могут быть заключены одно или несколько твердых тел.

При выводе уравнения момента количества движения учтем, что для элементарной массы dW количество движения равно dWu, а его момент относительно начала координат есть (r x u) dW, где r— радиус-вектор центра масс объема dW. Сле­довательно, для массы жидкости в объеме W момент количества движения

Согласно известной теореме механики производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) системы

равна сумме моментов, действующих на эту систему внешних сил, т. е.

(5.74)

Для установившегося движения полную производную объемного интеграла можно выразить через интеграл по контрольной поверхности S, подобно тому, как это было сделано для производной от количества движения.

Обозначим через r радиус-вектор центра масс элементарного объема u_nSdt (рис. 5.9). Тогда, очевидно величина

будет представлять собой момент количества движения элементарной массы  u_nSdt, протекающей за время dt через площадку S. Для этой величины справедливо замечание о знаках, сделанное выше по поводу элементарного потока количества движения. Поэтому, интегрируя последнее выражение по поверхности S, получим изменение момента количества движения L за время dt:

Отсюда найдем выражение для индивидуальной производной момента количества движения жидкого объема:

Теперь уравнение момента количества движения примет вид

(5.75)

Это уравнение служит основой для решения ряда фундаментальных задач теории турбомашин. Пример - его использования приведен в п. 6.12.

Для неустановившегося движения уравнение включает также локальную производную от момента количества движения:

(5.75)