5.8. Динамические свойства вихрей

В гл. 2 были описаны основные кинематические свойства вихревых движений и доказаны соответствующие теоремы. Теперь, располагая уравнениями динамики, можно установить динамические свойства вихрей. В основе их рассмотрения лежит теорема Томсона: если идеальная жидкость движется под действием сил, обладающих однозначным потенциалом, и процесс баротропен, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру постоянна во времени. Напомним, что контур называют жидким, если во время движения он состоит из одних и тех же частиц.

Для доказательства теоремы выберем такой контур и рассмотрим два его положения L и L ', соответствующие двум близким моментам времени t и t + dt (рис. 5.8). Условимся операцию дифференцирования вдоль контура в данный фиксированный момент времени обозначать буквой , а дифференциалы Перемещений в пространстве с течением времени — буквой d. Если l — элементарный вектор дуги контура L в момент t, то в момент (t + dt) вследствие перемещения в пространстве и деформации жидких частиц он будет иметь значение l +d(l). При этом если его нижний конец переместится на величину ds, то верхний из-за неодинаковости скоростей — на величину ds +(ds) Так как l + ds +  (ds) = ds + dl + d(l). Получаем  (ds) =  (dl), т. е. порядок дифференцирования  и d можно менять.

Теперь, обозначив через Г циркуляцию скорости по жидкому контуру L, вычислим ее производную по времени dГ/dt. По определению

и, следовательно,

Поскольку интегрирование осуществляется по переменной l, а время t играет роль параметра, то знак производной можно внести под знак интеграла и, пользуясь правилом дифференцирования, скалярного произведения, записать

Рис.5.8. Схема для доказательства теоремы Томсона

• Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824— 1907) — выдающийся английский физик. Автор важных работ в области электродинамики, гидродинамики и математики. Доказал фундаментальную теорему теории вихревых движений.

Для вычисления первого интеграла используем уравнение Эйлера (5.38):

По условию теоремы F == —grad Ф и (1/) grad р = grad P, причем второе из этих равенств имеет место только при баротропных процессах. Учитывая однозначность функций Ф и P получаем .

При вычислении второго интеграла в выражении (5.67) учтем, что и = ds/dt представляет собой скорость движения жидких частиц. Следовательно, в силу однозначности функции и

Таким образом, dГ/dt = 0, что означает постоянство циркуляции Г во времени, а значит, и справедливость сформулированной выше теоремы Томсона.

Заметим, что если процесс не баротропен, то равен нулю лишь второй из интегралов выражения (5.67) и

(5.68)

где du/dt = а — полное ускорение частицы и потому формулу (5.68) можно прочитать следующим образом: индивидуальная производная от циркуляции по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Поскольку для вывода уравнения (5.68) не используются уравнения динамики, то это утверждение справедливо как для идеальной, так и для вязкой жидкостей. Однако сама теорема Томсона применима лишь для идеальной жидкости, поскольку в реальной всегда действуют силы вязкости, не обладающие потенциалом.

Из теоремы Томсона следует свойство сохраняемости вихревых движений в идеальной баротропной жидкости. Действительно, пусть в начальный момент времени суммарная интенсивность вихревых трубок в некоторой части движущейся жидкости имела значение J. В силу теоремы Стокса циркуляция Г по любому замкнутому контуру, охватывающему эти трубки, равна 2J. Так как по теореме Томсона dГ/dt =0, то циркуляция, а значит, и интенсивность J не изменяются во все время движения. В ча­стности, если в начальный момент движение было полностью безвихревым (всюду в области течения Г = 0 и J = 0), то оно

останется безвихревым во все время движения. Иными словами, в идеальной баротропной жидкости вихревые движения не могут возникать или исчезать, если действующие на жидкость силы имеют однозначный потенциал. (Утверждение о невозможности возникновения вихрей при указанных условиях известно под наименованием теоремы Лагранжа).

Таким образом, теорема Томсона указывает на то, что причины возникновения и исчезновения вихрей лежат за пределами теорий идеальной баротропной жидкости. Поскольку для вязкой несжимаемой жидкости баротропность имеет место ( = const), причиной образования вихрей для нее может служить только вязкость. В газах вихри могут возникать также вследствие нарушения баротропности. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если жидкость идеальная, но плотность зависит не только от давления, а и от других параметров (например, от температуры), то формулу (5.68) можно переписать в виде

Здесь

(5.69)

Это соотношение, установленное В. Бьеркнесом, показывает, что при небаротропных движениях газа циркуляция, а значит, и интенсивность вихрей могут изменяться во времени даже при отсутствии вязкости.

Следует также иметь в виду, что при доказательстве теоремы Томсона используется предположение о непрерывности изменения скорости вдоль жидкого контура. Если он пересекает поверхность разрыва (см. гл. 7), то последняя может порождать вихри даже при соблюдении условий теоремы.