5.4. Уравнения рейнольдса* для развитого турбулентного движения несжимаемой жидкости

При выводе уравнений Навье — Стокса не делалось каких-либо предположений о режиме движения. Поскольку свойство вязкости присуще реальным жидкостям независимо от режима их движения и при переходе от ламинарного течения к турбулентному другие физические свойства не изменяются, можно предполагать, что обобщенная гипотеза Ньютона, а значит, и опирающиеся на нее уравнения Навье — Стокса справедливы как при ламинарном, так и при турбулентном движении жидкости. Однако в последнем случае использовать уравнения Навье — Стокса для получения каких-либо прикладных решений практически невозможно. Входящие в них мгновенные скорости и давление при турбулентных режимах являются пульсирующими. Даже если бы эти параметры удалось найти путем решения уравнений Навье — Стокса, что представляет крайне трудную задачу, то использовать их в практических целях было бы очень трудно. Поэтому для турбулентного режима определяют усредненные по времени скорости и давления, которые могут как зависеть, так и не зависеть от времени. В первом случае турбулентное течение считается неустановившимся, а во втором — установившимся.

Для получения уравнений турбулентного течения используют уравнения Навье — Стокса, все- члены которых усредняют по времени.

Как известно из кинематики (см. п. 2.1), истинная мгновенная скорость связана с усредненной соотношением' u = + и', где и' — пульсация. Для давления также можно написать р = + р', причем

______________________

 Осборн Рейнольдс (1842—1912) — выдающийся английский физик и инже­нер, профессор университета в Манчестере, член Лондонского королевского общества. Получил важнейшие результаты в областях изучения кавитации, смены режимов течения, турбулентности, гидродинамической теории смазки.

Дополнительно к изложенному в п. 2.1 заметим, что интервал Т должен быть достаточно большим по сравнению с максимальным периодом пульсаций, но в случае усреднений неустановившегося движения малым по сравнению с характерным для него интервалом времени (например, периодом колебательного движения, временем опорожнения резервуара и т. п.).

Если движение усредненно установившееся (или квазиустановившееся), т. е. усредненные величины не зависят от времени, то, выполняя операцию усреднения, можно убедиться, что для двух пульсирующих величин  и  справедливо равенство == . При неустановившемся движении это равенство прини­мается в качестве постулата, выражающего одно из качеств опе­рации усреднения. Легко убедиться, что усредненное значение производной любого порядка по координатам равно производной того же порядка от усредненного значения величины. Например,

Этому же правилу подчиняется и производная по времени

Производя усреднение, приходим к выводу, что уравнение неразрывности не изменяет своего вида:

Обратимся теперь к уравнениям Навье — Стокса для несжимаемой жидкости и произведем усреднение каждого из их членов. Для этого предварительно выполним тождественное преобразова­ние конвективных членов. Учитывая уравнение неразрывности div и = 0, убеждаемся, что, например, для первого уравнения

Поэтому первое уравнение Навье — Стокса можно записать в виде

Аналогично записываются два других уравнения. Результат усреднения каждого из членов левой части и локального ускорения в правой части полученной системы может быть записан сразу на основе приведенных выше свойств принятой операции усреднения. Остановимся на усреднении конвективных членов. Например, учитывая, что = и  = 0, находим

и аналогичные выражения для остальных конвективных членов уравнений Навье — Стокса.

Таким образом, с учетом уравнения неразрывности для усредненного установившегося турбулентного течения, когда = = =0, получаем уравнения Рейнольдса:

Уравнения Рейнольдса можно получить также в любой криволинейной системе координат.

Система (5.25) отличается от уравнений Навье — Стокса не только тем, что в нее входят усредненные скорости вместо мгновенных, но и наличием девяти новых членов, зависящих от пульсаций скорости. Представив каждый из этих членов в форме

перепишем уравнения Рейнольдса, перенося все члены, зависящие от пульсаций, в левую часть. Для краткости рассмотрим только первое уравнение:

Из формулы (5.26) следует, что наряду с членами вида

выражающими действие вязкостных напряжений, уравнения Рейнольдса содержат члены вида

которые выражают действие напряжений, присущих только турбулентному потоку. Эти напряжения, порожденные пульсациями скорости, называют турбулентными или кажущимися, подчеркивая последним термином, что их появление в уравнениях движения есть результат формального перехода от мгновенных скоростей к усредненным. Тем не менее, если сравнить усредненный турбулентный поток с ламинарным, эти напряжения дают отнюдь не «кажущийся» эффект, состоящий, в частности, в значительном увеличении сопротивлений и соответствующем изменении профиля скорости.

Таким образом, в турбулентном потоке полные касательные напряжения слагаются из вязкостных и турбулентных:

(5.27)

причем последние определяются формулой

(5.28)

и обладают свойством взаимности:  _ij = _ji.

Как видно из выражения (5.28), турбулентные напряжения зависят от интенсивности пульсаций скорости. Опыт показывает, что всюду в толще потока, кроме близких к стенкам слоев, _Т >>_ , так что вязкостными напряжениями можно пренебрегать. Однако у стенки _ соизмеримо с _Т. На самой стенке пульсации равны нулю и _Т = 0. Поэтому турбулентные напряжения не могут быть приложены к твердому телу.

Уравнения Рейнольдса содержат десять неизвестных и, следовательно, образуют незамкнутую систему. Замыкание системы сводится к установлению связей между турбулентными напряжениями в другими переменными, входящими в уравнения. Установление таких связей в общем виде представляет трудную и далеко не решенную задачу. В современной прикладной гидромеханике она решается на основе гипотез, выдвинутых рядом авторов применительно к частным случаям движения. Зависи-

мости, получаемые на основе таких гипотез, содержат функции или константы, подлежащие определению из опытов, а совокупность применяемых для этого методов составляет содержание полуэмпирических теорий турбулентности. В следующем параграфе приведены минимально необходимые сведения о некоторых из этих теорий.

Если ввести в рассмотрение вектор силы сопротивления f (f_x, f_y, f_z), определяемый проекциями вида (выписывается только одна из них)

то уравнения (5.26) можно представить в векторной форме

где знаки осреднения опущены. Далее это уравнение легко привести к виду, аналогичному уравнению Громеки — Ламба (5.13). Затем, повторяя рассуждения, изложенные в п. 5.3, нетрудно получить уравнение (5.24) Бернулли, справедливое вдоль линии тока усредненного турбулентного течения, в котором член h_с, учитывающий потери энергии, выражается зависимостью

Таким образом, подтверждается применимость уравнения (5.24) Бернулли для элементарной струйки не только ламинарного, но и усредненного турбулентного потока. В последнем случае потери механической энергии определяются, как видно, не только вязкостными напряжениями. Однако следует иметь в виду сделанное выше замечание о природе и роли турбулентных напряжений. Соответствующие им дополнительные потери появляются в уравнении Бернулли только как следствие замены истинных мгновенных скоростей усредненными, тогда как физической первопричиной потерь остается только вязкость.