5.7. Интегралы уравнений эйлера. Уравнение бернулли для идеальной жидкости
Для некоторых классов течений идеальной жидкости из уравнений Эйлера можно получить общие интегралы. С этой целью используем векторную форму (5.43)
применительно к следующим течениям.
1. Установившееся безвихревое течение. Для такого течения характерно выполнение условий дu/дt = 0 и = 0 во всем пространстве, кроме отдельных точек или поверхностей, где 0. Из выражения (5.43) следует, что при этом grad E = 0, т. е. Е = const или
(5.51)
Важно подчеркнуть, что это соотношение, называемое интегралом Бернулли, выполняется для всего пространства, занятого потенциально движущейся жидкостью.
2. Установившееся вихревое течение. В этом случае ди/дt = 0, но 0. Следовательно,
(5.52)
Допустим сначала, что во всех точках некоторой части движущейся жидкости векторы u и коллинеарны: u || . Тогда в этой части grad Е = 0 или Е = const, т. е. получаем результат, совпадающий с выражением (5.51). Это движение называют винтовым. Поскольку в каждой точке совпадают направления векторов поступательной и угловой скоростей, то частицы движутся вдоль некоторых линий тока, которые одновременно являются вихревыми линиями, т. е. их элементарные отрезки служат мгновенными осями вращения отдельных частиц. Подобные течения могут образовываться, например, при обтекании крыла конечного размаха. Для таких течений не выполняется условие u rot и = 0 и, следовательно, в них нельзя провести живых сечений.
Рассмотрим более общий случай вихревого течения, когда векторы u и не коллинеарны. Для получения интеграла выберем произвольный направленный отрезок ds (dx, dy, dz) и скалярно умножим на него обе части уравнения (5.52):
Векторное произведение А = u X представляет собой вектор, направленный нормально к плоскости, проходящей через векторы и u (см. рис. 5.2). Следовательно, если ds совпадает с одним из них, т. е. указывает направление линии тока или вихревой линии, то векторы А и ds ортогональны, и тогда А и X ds = 0. Иными словами, вдоль линий тока и вихревых линии grad Eds = dE = 0 или
Уравнение (5.53) аналогично уравнению (5.51). Однако следует помнить, что если в уравнении (5.51) значение Е одно и то же для всей движущейся жидкости, то в уравнении (5.53) оно постоянно лишь вдоль какой-нибудь линии тока или вихревой линии и может изменяться при переходе с одной из них на другую. Но если образовать поверхность, проведя через все точки какой-нибудь линии тока вихревые линии (рис. 5.5), то, очевидно, на всей такой поверхности функция Е будет постоянна. Точно так же Е == const на поверхности, образованной системой линий тока, проведенных через точки одной и той же вихревой линии.
Если массовой силой является только сила тяжести (Ф ==gz), интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости (== const, P = р/) можно представить в виде
что является частным случаем уравнения Бернулли (5.24) при отсутствии вязкости ( = 0).
В некоторых задачах влияние силы тяжести несущественно. При атом z < р/(g) или z < u2/(2g), и вместо уравнения (5.54) можно использовать уравнение Бернулли в форме
(5.55)
Для идеального (невязкого) газа функция P давления имеет различный вид для разных термодинамических процессов. Для баротропных процессов она выражается в элементарных функциях. Рассмотрим два частных случая.
А. Изотермическое течение газа.
Уравнение процесса имеет вид
где р0, 0 и Т — фиксированные значения давления, плотности и абсолютной температуры в некоторой точке.
Тогда
Не учитывая несущественную постоянную С, получим интеграл Бернулли в виде
Поскольку для газа влияние массовых сил на характер течения несущественно в большинстве технических задач, то обычно этот интеграл применяют в форме
Если в точке, где давление равно р0, скорость имеет значение u0, то, определяя постоянную и учитывая, что р0/ 0 == р/ получаем
(5.56)
Б. Адиабатное течение газа.
Уравнение процесса имеет вид
где k = Ср/Сv— показатель адиабаты.