6

4. Гидростатика

_________________________________________________________

4.1. Уравнения эйлера для покоящейся жидкости и их интегрирование

Если жидкость неподвижна относительно стенок резервуара, в который она заключена, то она будет покоящейся относительно любой системы координат, жестко связанной с резервуаром. При этом резервуар может покоиться относительно Земли, и тогда говорят, что жидкость находится в абсолютном покое, или двигаться с постоянным ускорением, и тогда говорят об относительном покое жидкости.

Как показано в п. 3.2, в покоящейся жидкости касательные напряжения в каждой точке равны нулю, а нормальные направлены по внутренним нормалям и равны гидростатическому давлению, взятому с обратным знаком (см. п. 3.2).

Полагая в уравнениях движения (3.10) проекции скорости равными нулю u_x = u_y = u_z = 0 и используя равенства (3.7), получаем дифференциальные уравнения равновесия жидкости:

Уравнения (4.1), называемые уравнениями Эйлера, являются общими дифференциальными уравнениями гидростатики, справедливыми как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости.

Проследив еще раз вывод уравнений (3.10) движения жидкости, можно убедиться, что уравнения (4.1) выражают условия равенства нулю проекций на оси координат массовых и поверхностных сил, действующих на единицу массы жидкости. Три уравнения (4.1) эквивалентны одному векторному уравнению

Уравнение (4.2) можно проинтегрировать в общем виде. Действительно, массовые силы, которые встречаются в природе и технике, в большинстве имеют потенциал, т. е. вектор F является градиентом некоторой функции Ф (х, у, z), называемой потенциалом массовых сил. Это выражается уравнением (выбор знака минус поясним в п. 3.2)

F = —grad Ф (4.3)

или в проекциях

Подставляя выражение (4.3) в (4.2), получаем

grad Ф + (1/) grad р = 0.

Для несжимаемой жидкости  = const. Используя это, имеем

grad (Ф + p/) = 0.

Равенство нулю градиента означает равенство нулю всех его проекций, т. е.

;

Поэтому

.

Выражение (4.4) является общим интегралом дифференциального уравнения (4.2) Эйлера. Из него следует, что поверхности уровня Ф = const в покоящейся жидкости совпадают с поверхностями равного давления (изобарическими поверхностями).

Для случая сжимаемой жидкости из-за переменной плотности ρ ее нельзя ввести под знак grad. Чтобы для этого случая получить интеграл уравнения (4.2), введем в рассмотрение новую функцию (х, у, z), называемую функцией давления и определяемую дифференциальным равенством

Процесс изменения состояния жидкости (газа) называется баротропным, если ее плотность зависит только от давления, т.е. ρ = f (р). К баротропным процессам относятся течение несжимаемой жидкости (ρ = const), изотермический ( = constр) адиабатный (р = const •р¹/^k) процессы, где k —показатель адиабаты. Для таких процессов величина d является полным дифференциалом и равенство (4.5) эквивалентно трем следующим:

Умножив каждое из них соответственно на орты i, j, k и сложив, получим

С учетом формул (4.7) и (4.3) уравнение (4.2) можно записать в виде grad (Ф + ) = 0, откуда

Для получения конкретного вида функция P давления для сжимаемой жидкости нужно использовать функциональную зависимость  = f (р), которая, как известно, задается уравнениями термодинамических процессов.

Укажем еще одну форму дифференциального уравнения равновесия жидкости, удобную для решения некоторых прикладных задач. Она получается при умножении уравнений (4.1) на произвольные приращения независимых переменных dx, dy, dz соответственно и сложении их:

или