9. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

_____________________________________________

9.1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Переход ламинарного режима в турбулентный кратко описан в п. 6.6 для течения в круглых трубах. Он наблюдается и при течениях в каналах разной формы, конфузорах, диффузорах, в пограничном слое при обтекании тел, в свободных струях. Хотя переходные явления для каждого класса потоков имеют некоторую специфику, но в основе любого из них лежит потеря устойчивости ламинарного течения, которая наступает при достижении определенных значений гидродинамических параметров.

Если в ламинарном потоке малые возмущения затухают и не приводят к изменению его общей кинематической структуры, то поток является устойчивым. Если же малые возмущения с течением времени нарастают и приводят к появлению новой структуры течения (например, к незатухающей пульсации местной скорости), то поток неустойчив. Еще Рейнольдс высказал мысль, что появление турбулентности связано с потерей устойчивости это подтверждается результатами теоретических и экспериментальных исследований.

Как известно, переход ламинарного течения в турбулентное для круглых цилиндрических труб определяется критическим значением числа Рейнольдса. При этом под Re_кр понимают такое значение этого числа, для которого поток данного класса с числом Рейнольдса меньше Re_кр, является заведомо ламинарным устойчивым, т. е. в нем затухают любые внешние малые возмущения. Таким образом, критическое число Рейнольдса определяет границу устойчивости ламинарных потоков, но не предопределяет фактического перехода к турбулентности, который может происходить при Re_кр >> Re_кр. Поэтому на величину Re_кр не должны влиять случайные возмущения, вносимые, например, шероховатостью стенок, если только последняя не приводит к изменению общей конфигурации потока. Опыт подтверждает независимость Re_кр от шероховатости стенок трубы. Но изменение общей конфигурации потока (например, его сужение, расширение или изгиб оси) существенно влияет на устойчивость течения, т. е. на значение Re_кр поскольку при этом изменяются общие условия устойчивости. Так, опытами многих исследователей

Рис. 9.1. Нарастание возмущений на поверхности раздела двух слоев идеальной жидкости и образование системы вихрей

установлено, что Re_кр для сходящихся (конфузорных) потоков больше, чем для расходящихся (диффузорных), т. е. первые более устойчивы. Критическое число Рейнольдса зависит также от формы поперечного сечения трубы или канала.

Изменения граничных условий течения могут влиять на форму профиля скорости в поперечном сечении потока. Установлено, что профили скорости, имеющие точки перегиба (например, в зоне отрыва пограничного слоя), являются неустойчивыми и характеризуют тенденцию к возникновению турбулентности.

Так как число Рейнольдса пропорционально отношению инерционной силы к силе вязкости, нахождение условий, определяющих границы устойчивости, должно производиться с учетом вязких свойств жидкости. Однако первое представление о механизме возникновения неустойчивости в прямолинейном потоке можно получить с помощью схемы движения поверхности раздела двух слоев идеальной жидкости.

Пусть имеется два слоя невязкой жидкости, перемещающихся в одном направлении со скоростями u₁ и u₂ (рис. 9.1, а) и отделенных поверхностью раздела MN. Предположим, что в результате случайного возмущения эта поверхность принимает волнообразную форму (рис. 9.1, б). Тогда на гребнях образовавшихся волн линии тока сгущаются и в силу уравнения неразрывности скорости возрастают. Во впадинах, наоборот, скорости уменьшаются. Поэтому согласно уравнению Бернулли р + u²/2 = const на гребнях давление уменьшается (отмечено знаком минус), а во впадинах — возрастает (отмечено знаком плюс). Но, очевидно, такое движение не может быть устойчивым из-за образования разных по величине давлений по обе стороны поверхности раздела, поэтому последняя продолжает деформироваться (рис. 9.1. в, г, д) и под действием продольных скоростей свертывается в дискретные вихри (рис. 9.1, е).

Так как случайные возмущения деформируют поверхность раздела совершенно беспорядочно, в действительности образуется не правильный ряд, а беспорядочная совокупность больших и малых вихрей. Кроме того, в реальной жидкости проявляется действие вязкости, которая усложняет картину и обуслов-

ливает диффузию вихрей. Рассмотренная схема не объясняет возникновение турбулентности, а иллюстрирует условия, при которых может наступить потеря устойчивости движения жидкости.

Особый интерес представляет неустойчивость ламинарного течения в пограничном слое и возникновение в нем турбулентности. Значимость этого вопроса определяется тем, что во многих случаях встречаются смешанные пограничные слои с участками ламинарного и турбулентного режимов. Для расчета таких слоев необходимо располагать не только методами расчета каждого из них, но и способами определения размеров переходной зоны или, по крайней мере, положения точки перехода. Рассмотрим в общих чертах переходные явления в пограничном слое на плоской пластине.

Вблизи передней кромки пластины (см. рис. 8.19) пограничный слой ламинарный, так как даже при турбулентном внешнем потоке скорость и толщина пограничного слоя малы, а значит, мало число Рейнольдса Rе_ = u/. Поскольку  х, режим течения можно характеризовать более условным числом Re_x = u₀x/. Как показывают результаты опытов, переход к турбулентному режиму на пластине наблюдается при

Re_xn = ( u₀x/)_n =(3.5...5)10⁵,

причем эти значения практически не зависят от размерных величин u₀, x, . Поэтому при возрастании скорости от внешнего потока точка (или зона) перехода приближается к переднему краю пластины. Положение точки перехода зависит, кроме того, от степени турбулентности обтекающего пластину потока. Количественной характеристикой степени турбулентности служит отношение (где и' — пульсация; — усредненное значение квадрата пульсации; и — осредненная скорость). В результате экспериментальных исследований получено, что если принять меры для максимально возможного снижения, степени турбулентности потока, то можно достичь значений Re_{z кр} =310⁶.

Переход ламинарного пограничного слоя на пластине в турбулентный сопровождается изменением законов нарастания толщины пограничного слоя и распределения продольных скоростей. На рис. 9.2 показана экспериментальная зависимость безразмерной толщины пограничного слоя  от числа Re_z. Можно видеть, что при Re_z < 3,2 10⁵ безразмерная толщина слоя постоянна и приблизительно равна пяти. При больших Re она заметно возрастает по почти линейному закону. С этим изменением закона нарастания толщины пограничного слоя связано изменение закона распределения скорости (рис. 9.3). С увеличением числа Re, происходит трансформация ламинарного профиля в турбулентный и градиент скорости у стенки возрастает.

Рис. 9.2. Зависимость безразмерной толщины пограничного слоя на про­дольно обтекаемой пластине от числа Рейнольдса

Одним из важнейших факторов, влияющих на величину Rе_кр, а значит, и на положение точки перехода, является градиент давления. Как известно, при обтекании тел он может быть как положительным, так и отрицательным. В области отрицательных градиентов, т. е. в области ускоряющегося или конфузорного течения, пограничный слой чаще всего остается ламинарным, тогда как в области положительных градиентов (или диффузорного течения) обычно происходит переход к турбулентному режиму. При этом точка перехода располагается ниже точки минимума давлений, поэтому в первом приближении положение точки перехода на удобообтекаемых телах при отсутствии отрывов пограничного слоя можно определять по положению точки минимума давлений. Поскольку последнее зависит от формы профиля тела, можно в определенных пределах управлять положением точки перехода, изменяя надлежащим образом форму профиля. Это используется для снижения сопротивления трения тонких крыловых профилей. Дело в том, что трение, определяемое касательными напряжениями, в ламинарном слое гораздо меньше, чем в турбулентном. Выполняя профиль таким, чтобы его сечение с наибольшей толщиной, при-

Рис. 9.3. Изменения профиля скоростей в пограничном слое на продольно обтекаемой пластине при переходе от ламинарного режима к турбулетному:

1 — теоретическая кривая для ламинарного слоя; 2 — степенная кривая (показатель степени 1/7) для турбулентного слоя

близительно или точно совпадающее с сечением минимума давления, располагалось по возможности близко к задней кромке профиля, можно увеличить или «затянуть» участок ламинарного пограничного слоя и уменьшить участок турбулентного. При этом общее сопротивление трению уменьшится. Такие профили называют ламинаризованными.

Из других факторов, влияющих на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, следует указать кривизну и шероховатость обтекаемой поверхности.

На основе опытных исследований можно считать, что на выпуклых поверхностях при */R < 0,0026 (R — радиус кривизны поверхности) возникает неустойчивость такого же типа, как и на пластине, а влиянием кривизны можно пренебречь. На вогнутой поверхности пограничный слой ведет себя так же, как и на пластине при */R < 0,00013. При больших значениях относительной толщины вытеснения пограничный слой становится неустойчивым.

Шероховатость и волнистость поверхности влияют на переход главным образом благодаря возмущениям, вносимым ими в поток. Отдельный элемент шероховатости (выступ) может влиять на положение точки перехода. По мере увеличения высоты выступа область или точка перехода перемещается вверх по течению и может достичь сечения, в котором расположен выступ.

Течение в переходной области пограничного слоя аналогично течению в переходной области в трубах. Так, наблюдалось, что турбулентность возникает в ограниченных зонах в виде локальных турбулентных пятен, за пределами которых поток сохраняет ламинарную структуру. Турбулентные пятна распространяются вниз по течению и приводят к перемежаемости, аналогичной той, которая имеет место на переходных режимах в трубах. Наряду с этим на переходных участках происходит обмен жидкими объемами между внешним потоком и пограничным слоем через его внешнюю границу, что обусловливает другой тип перемежаемости.

Неустойчивость движения жидкости может проявляться не только в переходе от ламинарного режима к турбулентному, но и в резком изменении макроскопической структуры потока. Например, при движении вязкой жидкости между соосными вращающимися цилиндрами линиями тока могут служить плоские кривые в виде концентрических окружностей (см. п. 8.4). Но при определенных условиях такой характер течения может нарушиться, и в зазоре между цилиндрами возникнут крупные кольцевые вихри с осями, параллельными окружной скорости. Сечения таких вихрей плоскостью, проходящей через ось вращения, показаны на рис. 9.4.

Неустойчивость движения возникает также и в других случаях пространственных течений. Например, на вогнутых неподвижных поверхностях может образовываться система вихрей,

Рис. 9.4. Система кольцевых вихрей в зазоре между соосными цилиндрами, вращающимися с разной угловой скоростью (вихря Тейлора)

сходная с той, которая образуется между вращающимися цилиндрами.

В настоящее время теоретически на основе метода малых возмущений, а также нелинейной теории решены задачи устойчивости для ряда частных случаев.

6.2. Турбулентное течение между параллельными плоскостями (течение в плоской трубе)

Этот вид турбулентного течения (см. рис. 8.1) можно описать теми же методами полуэмпирической теории, которые использовались для турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе. Принимая во внимание структуру движения вблизи бесконечной плоской стенки (см. п. 5.5), но учитывая, что в данном случае имеет место продольный перепад давления, первое и второе уравнения Рейнольдса запишем в виде

(9.1)

где р и u_x — усредненные значения давления и скорости.

Из второго уравнения следует, что величина р₀, = р +  зависит только от х. Поскольку значение на стенке равно нулю, а в потоке всегда положительно, можно заключить, что давление на стенке всегда больше, чем во внутренних точках потока.

Перепишем первое уравнение системы (9.1) в виде

(9.2)

где

Ввиду бесконечной длины канала величина  не может зависеть от х. Поэтому вместо  в выражение (9.2) введем, в результате чего получим уравнение

проинтегрировав которое по у (тая как ₀ по этой переменной не зависит), найдем

Обозначив касательное напряжение на стенке через ₀ определим С = ₀. Из условия симметрии напряжение  на оси потока (при у = h/2) равно нулю, а значит,

Следовательно, закон распределения касательных напряжений по сечению канала можно записать в виде

который аналогичен соответствующему закону для круглых труб (см. п. 6.7).

Дальнейший вывод закона распределения скоростей и закона сопротивления, основанный на полуэмпирической теории переноса количества движения, не отличается от такого же вывода для круглых труб, изложенного в гл. 6. Приведем только результирующие зависимости с небольшими комментариями.

В области турбулентного ядра течения справедлив логарифмический закон (6.39):

в котором для случая гладких стенок канала постоянные А и В выбираются из условия более точного соответствия опытным данным.

На рис. 9.5 приведены экспериментальные данные, обобщающие результаты опытов не только для плоских каналов, но и для круглых труб и турбулентного пограничного слоя на пластине. Можно видеть, что универсальный закон

одинаково справедлив для этих классов течений. Логарифмическая зависимость (6.39) при значениях А = 5,75; В =5,1 показана прямой b. Кривая а соответствует зависимости

т. е. линейному распределению скоростей, характерному для вязкого подслоя. Ход этих кривых показывает, что двухслойная модель турбулентного потока в трубах, плоских каналах и пограничном слое лишь приближенно описывает истинную структуру течения. Можно считать, что при yu_*/v < 5 линейный закон для скорости подтверждается достаточно хорошо. При значениях

Рис. 9.5. Универсальный профиль безразмерной скорости в пограничном слое на пластине, в плоской и круглой трубах:

а - u/ u_* =yu_*/; b = u/ u_*. - 5.75 lg (y u_*/) + 5,1

500 > yu_*/ > 30 удовлетворительно подтверждается логарифмический закон (6.39), причем небольшими вариациями величин A и В можно добиться его наилучшего совпадения с опытными данными на этом участке изменения yu_*/ .

В диапазоне 5 < yu_*/ < 30, т. е. между точками D₀ и D₁ на рис. 9.5, имеет место заметное отклонение опытных точек от каждого из приведенных выше законов. Это указывает на то, что здесь ощутимо влияние как молекулярной, так и турбулентной вязкостей, и полное напряжение должно выражаться формулой (9.2). Поэтому ряд авторов предприняли попытки улучшить теорию учетом не только турбулентных, но и вязкостных напряжений. Было достигнуто несколько лучшее совпадение теоретических и экспериментальных результатов, однако при этом усложняются расчетные зависимости.

Кроме недостаточно точного соответствия опытным данным в пристенной зоне логарифмический закон (6.39) имеет еще один недостаток: он не удовлетворяет естественным условиям на оси симметрии течения. Эти недостатки теории, основанной на двухслойной модели течения, заставили исследователей искать другие пути решения проблемы. Так, А. Д. Альтшуль, принимая для коэффициента турбулентной вязкости выражение  = u_*y

(где  — постоянная) и учитывая также молекулярную вязкость, пришел к дифференциальному уравнению

которое дает конечное значение градиента скорости на стенке и не требует деления потока на вязкий подслой и турбулентное ядро. Полученные на основе этого уравнения приближенные расчетные зависимости для закона распределения скорости и гидравлического коэффициента трения применительно к круглым трубам с достаточной для практических целей точностью соответствуют опытным данным.