11. Одномерные течения идеального газа

_____________________________________________________

11.1. Некоторые термодинамические соотношения

При движении газов с малыми скоростями (менее 70 м/с) присущее им свойство сжимаемости (см. гл. 1) проявляется слабо, и во многих случаях с достаточной для практических целей точностью движущийся газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Однако при больших скоростях, сравнимых со скоростью звука и тем более превышающих ее, влияние сжимаемости может быть настолько существенным, что законы движения несжимаемой жидкости оказываются неприменимыми. Изменение плотности газа чаще всего сопровождается изменением температуры или теплообменом. В связи с этим для описания его движения наряду с уравнениями механики необходимо использовать уравнения термодинамики и соответствующие методы их анализа. В этом параграфе приведем лишь те термодинамические соотношения, которые необходимы для изложения основных законов одномерных газовых течений. Строгое обоснование этих соотношений читатель может найти в курсе термодинамики.

Кроме того, ограничимся рассмотрением одномерных течений идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния (1.16), которое можно записать в виде

p/ = RT, (11.1)

где R — газовая постоянная, зависящая только от рода газа [для воздуха R = 287,16 Дж/(кг.К)]; Т — абсолютная температура по шкале Кельвина.

Это уравнение подтверждается опытным путем тем лучше, чем выше температура и меньше давление. Заметные отклонения свойств реальных газов от свойств совершенных газов наблюдаются при низких температурах и высоких давлениях (вблизи точки сжижения), а также при высоких температурах, когда происходит диссоциация молекул.

Важнейшее значение в газовой динамике имеют энергетические характеристики газов. Движущийся газ, рассматриваемый как термодинамическая система, обладает внешней и внутренней энергией. Первая представляет собой сумму кинетической энергии направленного движения частиц газа и потенциальной энергии, обусловленной полем массовых сил. Внутренняя энергия газа

является суммой кинетической и потенциальной энергий всех составляющих его частиц (см. гл. 1 и 5).

Запас внутренней энергии зависит только от состояния термодинамической системы (газа). Изменение ее полностью определяется начальным и конечным состояниями, но не зависит от характера процесса изменения, поэтому внутреннюю энергию можно рассматривать как один из параметров состояния газа, наряду с давлением, плотностью и температурой. Изменение внутренней энергии выражают через количество работы и теплоты, которыми термодинамическая система обменивается с окружающей средой. Этот обмен подчиняется первому началу термодинамики, согласно которому изменение энергии термодинамической системы равно сумме подведенной к системе теплоты и работы, выполненной над ней окружающей средой.

Этот закон для единицы массы газа можно выразить уравнением

(11.2)

где U — внутренняя анергия; и — скорость газа; k — удельная потенциальная энергия поля массовых сил; dq — количество теплоты, подведенной извне; dl' — удельная работа окружающей среды.

Первое начало термодинамики является термодинамической формой общего закона сохранения энергии (см. п. 5.10). При движениях газов потенциальная энергия h только в редких случаях имеет практическое значение, а потому в дальнейшем не учитывается. Вместо работы dl' введем работу dl = —dl', которую газ совершает против внешних поверхностных сил. Тогда вместо выражения (11.2) можно записать

(11.3)

Работа, выполненная газом, обусловлена его давлением. В гл. 5 было показано, что на элементарном перемещении работа сил давления несжимаемой жидкости выражается дифференциалом d (р/р). Повторяя рассуждения применительно к газу, придем к этому же выражению с той лишь разницей, что здесь плотность — переменная величина. Таким образом,

где v = 1/ — удельный объем.

Теперь уравнение (11.3) запишем в виде

(11.14)

В термодинамике сумму двух полных дифференциалов dU и d (pv) представляют как дифференциал некоторой функции i, называемой энтальпией или тепловой функцией. Таким образом, эта функция определяется соотношением

или

i= U + p v = U + р/, (11.5)

где несущественная постоянная интегрирования опущена.

Уравнению (11.4) можно придать форму

dq = di + d²/2.

В частном случае адиабатного, т. е. теплоизолированного движения газа dq = 0 и, следовательно.

d (i + и²/2) = 0; i + и²/2 = const. (11.6)

Уравнение (11.6), полученное из общего закона сохранения энергии, справедливо и для течения вязкого газа при отсутствии теплообмена с внешней средой.

Рассмотрим квазистатические процессы, т. е. процессы, происходящие настолько медленно, что их можно рассматривать как последовательную смену равновесных состояний газовой среды.

Для таких процессов можно принять, что d (и²/2) = 0, а механическая работа представляет собой работу расширения газа, выражаемую формулой dl = pdv. Следовательно, вместо выражения (11.4) будем иметь

dq = dU+pdv. (11.7)

Поскольку d (pv) = pdv + vdp, используя тепловую функцию, первое начало термодинамики можно выразить уравнением

dq= di — vdp (11.8)

Понятия внутренней энергии и энтальпии тесно связаны с понятием теплоемкости газа. Если в произвольном термодинамическом процессе количество теплоты, подведенное к 1 кг газа, составляет q, а соответствующее изменение температуры T, то величину

c = lim =

T0

называют удельной теплоемкостью. В частном случае изохорного процесса (происходящего при постоянном объеме) dv = 0. Тогда согласно формуле (11.7) dU = dq

с _v = дU/дТ v (11.9)

где c _v — удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Для изобарного процесса (р = const) из выражения (11.8) получим di = dq. Следовательно,

c_р=дi/дТ |р (11.10)

представляет собой удельную теплоемкость при постоянном давлении.

Если принять в данном диапазоне изменения температуры удельные теплоемкости с _v и c_р не зависящими от температуры, то для внутренней энергии и энтальпии получим конечные соотношения

из которых видно, что внутренняя энергия U и энтальпия i являются функциями только абсолютной температуры. Это с достаточной степенью точности подтверждается опытами с газами, следующими уравнению Клапейрона — Менделеева. Рассматривая изменение состояния совершенного газа при постоянном давлении и учитывая, что при этом dU = с_v dT, а согласно уравнению состояния pdv = pd (RT/p) = RdT, из уравнений (11.7) и (11.8) получим

или формулу Майера

(11.11)

В дальнейшем будем рассматривать только адиабатные течения совершенных газов. Для этого случая dq = 0 и уравнение (11.7)

может быть проинтегрировано. Используя уравнение состояния, запишем выражение (11.7) в виде

Интегрируя, находим

(11.12)

Введем параметр k = c_р/с_v, называемый показателем адиабаты. Согласно выражению (11.11)

Обозначив индексом «0» некоторые фиксированные значения термодинамических параметров, запишем уравнение (11.12), исключив из него величину с_v:

отсюда

(11.13)

Используя уравнение состояния, получим уравнение адиабатного процесса

(11.14)

Из формул (11.13) и (11.14) вытекают соотношения

(11.15)

Адиабатный процесс для машиностроительных приложений газовой динамики представляет особый интерес в связи с тем, что при течении газов с достаточно большими скоростями через относительно короткие проточные части машин теплообмен между газовыми частицами не успевает осуществиться в заметной степени, поэтому в первом приближении газодинамические расчеты могут строиться на основе предположения об адиабатности процесса.

Поскольку при изучении газовых течений всегда имеем дело с превращением тепловой энергии или с теплообменом, то важно иметь параметр или функцию, однозначно определяющие наличие этих процессов. Такой функцией может служить величина s, определяемая дифференциальным соотношением

(11.16)

и называемая энтропией. Из определения энтропии следует, что если к термодинамической системе теплота подводится (dq > 0), то энтропия возрастает (ds > 0), при отводе теплоты энтропия убывает. Очевидно, для теплоизолированного процесса, каким является адиабатный процесс идеального газа, ds = 0 или s = const. благодаря чему этот процесс называют изоэнтропическим. При движении газа с трением общее изменение количества теплоты газовых частиц слагается из количества теплоты dq_i, подводимой извне, и полученной превращением механической энергии в тепловую благодаря трению dq_r.

Поэтому даже при отсутствии теплообмена с внешней средой, когда dq_i = 0, при течении с трением энтропия возрастает, так как dq_r > 0. Поскольку диссипация представляет собой необратимый процесс преобразования механической энергии, то для теплоизолированных процессов возрастание энтропии служит признаком их необратимости. Заметим, что помимо трения существуют и другие причины необратимых преобразований механической энергии (см. п. 10.6).

Второе начало термодинамики устанавливает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой энтропия термодинамической системы является неубывающей функцией (ds  0). Удобное аналитическое выражение энтропии можно получить, используя формулу (11.8):

Подставляя это выражение в зависимость (11.16), получаем

Учитывая, что

находим

или

Это дифференциальное соотношение можно записать в форме

которая допускает интегрирование. В результате получим

(11.17)

Из формулы (11.17) следует, что энтропия с точностью до постоянной полностью определяется двумя параметрами состояния T и , а значит, и сама является параметром состояния. Ее можно выразить и через другие параметры. Так, используя уравнение Клапейрона, получим следующее выражение энтропии:

(11.18)

из которого также следует постоянство энтропии для адиабатного течения идеального газа.