11.3. Параметры торможения и критическая скорость. Изоэнтропические формулы

Как известно, в потоке газа или жидкости могут существовать точки или области, скорость в которых равна нулю, например, критические точки на поверхности обтекаемого тела или большая емкость, из которой происходит истечение через малое отверстие или сопло. Предполагая течение адиабатным, применим уравнение (11.24) к произвольной точке, в которой скорость течения равна и, и к точке, в которой скорость и = 0. Последнюю будем далее называть точкой торможения и все относящиеся к ней параметры отмечать индексом «0». Тогда получим

(11.25)

или

(11.26)

Здесь a₀ и Т₀—соответственно скорость звука и температура в точке торможения. Им соответствуют некоторые давление р₀ и плотность ₀. Величины a₀, Т₀, р₀, ₀, называемые параметрами торможения, являются константами данного газового потока. Но не обязательно им приписывать смысл параметров газа в некоторой точке торможения, ибо таковой в данном потоке может и не быть. Параметры торможения можно понимать как расчетные параметры, которые мы получили бы, если бы данный поток полностью затормозили без необратимых преобразований механической энергии. Особую роль играет температура торможения Т₀, поскольку, как это следует из уравнения (11.26), она определяет полную энергию данного газового потока.

Так как скорость звука уменьшается с увеличением скорости течения, то, в частности, эти скорости могут оказаться равными. Пусть это имеет место в некоторой точке или сечении потока. Обозначим общее значение этих скоростей через а_ найдем эту величину с помощью выражения (11.25). Для указанной точки

откуда

(11.27)

Величина а_, называется критической скоростью и, очевидно, представляет собой скорость течения, равную местной скорости

звука. Потоки газа со скоростями, меньшими а_, называют дозвуковыми, а потоки, для которых u > а_ — сверхзвуковыми или сверхкритическими. Как убедимся далее, эти два класса газовых потоков имеют резко различные свойства.

Из формулы (11.27) следует, что поскольку всегда k > 1, то а_ < а₀, т. е. критическая скорость всегда меньше скорости звука в полностью заторможенном газе. Наряду с этим критическая скорость является константой данного газового потока, поскольку определяется только температурой торможения:

(11.28)

Критической скорости соответствуют критические параметры Т_ = 2T₀/(k + 1), p_, _, которые, как и параметры торможения, постоянны для всего потока.

В газовой динамике широко применяют безразмерное представление расчетных формул. В частности, пользуются безразмерными скоростями

первая из которых называется числом Маха, а вторая — приведенной скоростью или коэффициентом скорости.

Покажем, что отношение любого параметра газового потока к соответствующему параметру торможения определяется только числом Маха. Из выражения (11.25) имеем

или

(11.29)

Учитывая формулу (11.23), получаем

(11.30)

Используя зависимости (.11.15), находим

(11.31)

(11.32)

Соотношения (11.29)—(11.32) (изоэнтропические формулы) широко используются в газодинамических расчетах. Значения функций а₀/а = f (М), Т₀/Т = f₂(М) и др. табулированы для наиболее часто встречающихся значений М. Поскольку каждому значению М отвечает вполне определенное значение  отношения а₀/а, Т₀/Т, То/Т могут быть выражены как функции приведенной скорости.

Учитывая, что

представим выражение (11.25) в виде

(11.33)

Разделив обе части этого уравнения на a² и умножив на k — 1, получим

или

(11.34)

Исключая с помощью этого соотношения число М в формулах /11.29) и 11.32) находим изоэнтропические формулы в виде

(11.35)

(11.36)

(11.37)

(11.38)

Учитывая, что параметры торможения постоянны для всех точек данного потока газа, из формул (11.29)—(11.38) нетрудно получить отношения параметров для двух (индексы 1 и 2) произвольных точек данного потока:

(11.39)

Изоэнтропические формула позволяют оценить ошибку, которая допускается при вычислении параметров газа (например, давления и плотности) по формулам для несжимаемой жидкости. Чтобы выполнить эту оценку, разложим в ряд правые части выражений (11.31) и (11.32):

Тогда

(11.40)

или

(11.41)

Для несжимаемой жидкости a = = и М = 0. Из формул (11.40) и (11.41) для этого случая получаем  = ₀ и р +u²/2 = р₀.

Для сжимаемой среды (газа) погрешность при использовании последних формул растет при увеличении числа М. Если в уравнениях (11.40) и (11.41) ограничить ряды только членами, содержащими М², то, например, при М = 0,2 получим _= 0,02 и _p = 1,01, т. е. погрешность определения плотности составляет 2 %, а давления 1 %. Заметим, что значение М = 0,2 при нормальных условиях [а = 340 м/с; T = (273 + 15) К] соответствует скорости u = 68 м/с.