11.4. Изменение параметров газа при течении по трубе переменного сечения

Выше предполагалось, что в одномерном потоке газа все его параметры — скорость, давление, температура, плотность — постоянны в пределах рассматриваемого сечения. Такое а приближенное представление не только оказывается достаточным для установления основных качественных закономерностей, но позволяет в ряде случаев выполнить технические расчеты с удовлетворительной точностью.

Рассмотрим закономерности изменения указанных газовых параметров вдоль оси потока, не учитывая ее кривизну и приняв ее за координатную ось х.

Уравнение неразрывности для одномерного потока в трубе переменного сечения можно записать в конечной (гидравлической) форме

или в дифференциальной форме

(11.42)

которая получается, если первую формулу прологарифмировать, а затем продифференцировать. Следует подчеркнуть, что дифференциалы в выражении (11.42) берутся по переменной х, т. е. вдоль оси потока. Чтобы установить связь между изменением живого сечения и изменениями других параметров, используем также уравнение Бернулли

дифференцируя которое, найдем

или

Поскольку a² = kp/ =dp/d, то это уравнение можно записать в виде

откуда

(11.43)

Подставляя выражение для относительного изменения плотности в уравнение неразрывности, получаем уравнение Гюгонио

(11.44)

которое позволяет установить характер изменения скорости вдоль трубы переменного сечения. Прежде чем выполнять этот анализ, найдем аналогичные соотношения для плотности и давления. Из формул (11.43) и (11.44) имеем

а используя уравнение адиабаты р = Ср^k найдем

(11.46)

Из уравнений (11.44)—(11.46) можно сделать следующие вы­воды.

1. Дозвуковой поток газа (М < 1) в расширяющейся трубе (dS > 0) замедляется (du < 0), а в сужающейся (dS < 0) ускоряется (du >0). Таким образом, поведение дозвукового потока газа качественно аналогично поведению потока несжимаемой жидкости.

2. Сверхзвуковой поток газа (М > 1) ускоряется (du > 0) в расширяющейся трубе и замедляется (du < 0) в сужающейся.

3. Изменения плотности и давления обратны изменению скорости; плотность и давление дозвукового потока в расширяющейся трубе возрастают, а в сужающейся — убывают. Для сверхзвукового потока имеет место противоположная закономерность.

4. При М = 1, т. е. при достижении критических параметров, во всех сечениях, где dS  0, наступает разрывное (du/dx =) или скачкообразное изменение параметров газа.

Как показано ниже, скачкообразный переход через критическое состояние физически возможен только в сверхзвуковом потоке, который при таком переходе преобразуется в дозвуковой. Поскольку при этом плотность газа скачкообразно возрастает, этот переход получил название прямого скачка уплотнения. Аналогичный переход дозвукового потока в сверхзвуковой дол­жен был бы иметь характер скачка разрежения, однако его суще­ствование противоречит второму закону термодинамики и потому невозможно (см. п. 11.6).

Важное практическое значение имеют условия непрерывного перехода через критическое состояние. Необходимым условием для непрерывного перехода через критическое состояние (через звуковую скорость) является наличие в трубе экстремального сечения, в котором dS = 0. Тогда при М = 1 в этом сечении du/dx может иметь конечное значение, т. е. переход дозвукового потока в сверхзвуковой может быть осуществлен только в трубе с минимальным сечением (рис. 11.2, а). В такой трубе, получив­шей название сопла Лаваля, дозвуковой поток ускоряется в сужа­ющейся части (конфузоре) и, если минимальное (критическое) сечение надлежащим образом рассчитано, то в нем достигается звуковая скорость, а в расширяющейся части происходит дальнейшее ускорение уже сверхзвукового потока.

Очевидно, такое преобразование дозвукового потока в сверхзвуковой невозможно в трубе с максимальным сечением (рис. 11.2, б), так как дозвуковой поток, поступающий в расширяющуюся часть (диффузор), тормозится в ней и в экстремальном сечении имеет не только не звуковую, но даже меньшую, чем на входе, скорость. В сужающейся части поток снова ускоряется,

Рис. 11.2. Изменение параметров газа при течении по каналу переменного сечения:

а — канал с экстремальным сечением, в котором возможен переход от дозвуковых к сверхзвуковым скоростям; б — канал с экстремальным сечением. в котором таков переход невозможен

однако звуковая скорость может быть достигнута только в выходном сечении.

Представляет также интерес торможение газовых потоков. Из выводов 1 и 2 следует, что дозвуковой поток можно затормозить расширяющейся трубой (диффузором), а для сверхзвукового потока эту роль выполнит сужающаяся труба. Опыт показывает, что в последнем случае поток газа неустойчив и в нем легко возникает система косых и прямых скачков уплотнения, в которых и происходит торможение. Скачки уплотнения представляют собой поверхности, при переходе через которые происходит разрывное (скачкообразное) изменение параметров газового потока. Поскольку, как мы увидим ниже, скачки уплотнения сопровождаются потерями энергии, возникает вопрос о таком профилировании трубы, которое обеспечило бы системы скачков с минимальными потерями. Функцию устройства, осуществля­ющего торможение сверхзвукового потока и преобразование его в дозвуковой, может выполнить труба той же конфигурации, что и сопло Лаваля, которая, однако, в данном случае является сверхзвуковым диффузором.