11.6. Прямой скачок уплотнения

Поверхности разрыва, называемые скачками уплотнения, могут быть плоскими или криволинейными и по-разному ориентированными к направлению вектора скорости. Скачок простейшей формы, при которой поверхность разрыва представляет собой плоскость, нормальную к скорости потока, называется прямым скачком уплотнения. Рассмотрим его основные свойства.

Пусть в цилиндрической трубе существует поток с параметрами u₁, p₁, ₁, T₁ и в результате его торможения образовался скачок, за которым параметры потока u₂, p₂, ₂, T₂ (рис. 11.5). Строго говоря, скачок не является поверхностью, а имеет некоторую протяженность в направлении вектора скорости, т. е. занимает некоторый объем. Однако эта протяженность весьма мала (порядок длины свободного пробега молекул) и в газодинамических расчетах принимается равной нулю. Выделим двумя

плоскостями 1-1 и 2-2 отсек газа, включающий поверхность разрыва, или иначе, фронт скачка С-С. Пренебрегая действием массовых сил и предполагая распределение параметров газа по сечению трубы равномерным, запишем уравнение количества движения в проекции на ось трубы для выделенного отсека:

где S — площадь поперечного сечения трубы.

После сокращения получим

Из п. 11.2 известно, что для теплоизолированного течения идеального газа уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии. Поэтому, предполагая, что скачок происходит без тепло­обмена с внешней средой (через стенки трубы), можно применить это уравнение к выбранным сечениям 1-1 и 2-2 потока;

(11.54)

Третьим уравнением, описывающим скачок, будет уравнение неразрывности, которое с учетом условия S = const имеет вид

(11.55)

Преобразуя эту систему уравнений, можно получить различные формы соотношений, описывающих скачок. Установим прежде всего связь давления и плотности перед скачком с их значениями за ним. Для этого представим выражение (11.53) с учетом уравнения (11.55) в виде

и, перемножив левую и правую части этого уравнения с соответствующими частями тождества

получим

Используя уравнение Бернулли (11.54), исключим разность квадратов скоростей;

Это соотношение, содержащее только плотности и давления, путем элементарных преобразований приводится к виду

(11.56)

преобразующаяся в тепловую (потери), не рассеивается благодаря теплоизолированности процесса, и полная удельная энергия, определяемая величиной T₀, остается неизменной. Очевидно также, что величины

остаются неизменными. Из уравнения Клайперона следует, что

Другие параметры газа: давление, плотность, температура, — при переходе через скачок изменяются на конечные величины. Не останавливаясь на подробностях алгебраических выводов, приведем результирующие формулы, по которым определяются эти изменения:

Потерю механической энергии в прямом скачке уплотнения можно характеризовать отношением полного давления р₀₂ за скачком к полному давлению р₀₁ перед ним. Формулы, определяющие это отношение, имеют вид

В специальных руководствах по газовой динамике можно найти таблицы и графики, облегчающие расчеты по приведенным выше формулам.