9.3. Структура и уравнения пристенного турбулентного пограничного слоя

По результатам современных экспериментальных исследований можно составить следующее приближенное представление о кинематической структуре течения в пристенном турбулентном пограничном слое.

В непосредственной близости к стенке существует вязкий подслой, в котором молекулярная вязкость существенно превосходит турбулентную и потому _  _т. Толщина вязкого подслоя составляет 0,001 ... 0,01 толщины всего турбулентного слоя. Далее следует зона логарифмического профиля, которая вместе с вязким подслоем и переходной областью образует пристенную область. В этой области, составляющей около 20 % толщины пограничного слоя, накапливается главная часть его пульсационной энергии. Это означает, что в пристенном пограничном слое турбулентность генерируется главным образом вблизи стенки в области гораздо более узкой, чем вся толщина пограничного слоя. Закономерности, описывающие течение в пристеночной области часто называют «законом стенки».

Между пристеночной областью и внешней границей пограничного слоя располагается внешняя область, которая характеризуется относительно небольшой генерацией турбулентных пульсаций и в которой распределение скоростей несколько отклоняется от логарифмического закона.

Между внешней областью и внешним безвихревым потоком лежит еще одна область, получившая название надслоя. Для нее характерны явления нестационарности и перемежаемости, обусловленной периодическим проникновением в надслой малотурбулизованных масс из внешнего потока и восстановлением степени турбулентности, присущей пограничному слою.

Таким образом, структура турбулентного пограничного слоя значительно сложнее структуры ламинарного слоя.

Дифференциальные уравнения турбулентного пограничного сдоя можно получить из уравнений Рейнольдса, оценив значения

их членов подобно тому, как это было сделано при выводе уравнений (8.66) ламинарного слоя. Если при этом пренебречь нормальными турбулентными напряжениями, то для плоского установившегося пограничного слоя получим

Считая, что для внешнего потока справедливо уравнение Бернулли в виде р + 0,5U² = const и, используя обозначения

перепишем последние уравнения в виде

(9.3)

Эти уравнения можно использовать для построения методов расчета турбулентного пограничного слоя. Но значительная группа методов основывается на интегральных соотношениях, важнейшим из которых является уравнение импульсов (8.81) (или (8.83)].

9.4. Расчет турбулентного пограничного слоя на пластине

Предположим, что на гладкой пластине длиной l турбулентный пограничный слой образуется на всей ее длине, начиная от переднего края. Иными словами, ламинарный участок пограничного слоя вблизи переднего края пластины будем считать пренебрежимо малым.

В данном случае для внешнего потока имеем условия U = u₀ = const в U' = 0. Поэтому уравнение импульсов приобретает вид

(9.4)

Заметим, что если считать, что пограничный турбулентный слой начинается от переднего края пластины, то формула (8.85), определяющая силу сопротивления трения, остается справедливой с той, однако, разницей, что величина ** определяется приводимыми ниже соотношениями турбулентного слоя.

В уравнении (9.4) содержатся две неизвестные функции; ** (х) и ₀(х). Недостающее уравнение можно получить, например, установив на основе экспериментов связь между касательным напряжением ₀ и толщиной ** потери импульса. Такую связь обычно называют законом сопротивления. На основе много-

численных опытов, проведенных при больших числах Рейнольдса (Re = u₀l/), получена степенная зависимость

(9.5)

на основании которой уравнение (9.4) можно записать в виде

После интегрирования получим

(9.5')

Соответственно граничному условию на переднем крае пластины б** = 0 при х = 0 находим С = 0, и последнее уравнение приводим к виду

(9.6)

Таким образом, толщина потери импульса в турбулентном пограничном слое, а значит, и другие условные толщины возрастают пропорционально расстоянию от переднего края в степени 6/7, тогда как для ламинарного слоя они пропорциональны корню квадратному из этого расстояния. Следовательно, толщина турбулентного пограничного слоя увеличивается быстрее, чем толщина ламинарного слоя.

Согласно выражениям (9.5) и (9.6) местный коэффициент трения

При этом касательное напряжение

(9.7)

полное сопротивление трения пластины

и коэффициент сопротивления трения пластины, смоченной с двух сторон,

(9.8)

где Re = ul/ и S=2l1.

Формула (9.8) хорошо подтверждается экспериментальными данными для больших чисел Рейнольдса, когда ламинарный участок пограничного слоя пренебрежимо мал.

Приведенное решение показывает, что при обтекании пластины сопротивление трения можно определить, используя всего одну эмпирическую связь между функциями ** и ₀. Можно было бы показать, что использованная форма этой связи соответствует степенному распределению скоростей в пограничном слое:

при m = 1/11.

Более точная аппроксимация профиля скорости дается логарифмической зависимостью. Ее использование требует более сложных выкладок и приближенных вычислений. Выполнив их, Г. Шлихтинг получил для коэффициента сопротивления интерполяционную формулу

(9.9)

которая хорошо соответствует опытам в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. Результаты вычислений по формулам (9.8) и (9.9) близки друг к другу.

Сравним сопротивление трения гладкой пластины при ламинарном и турбулентном режимах пограничного слоя. Если бы ламинарный и турбулентный пограничные слои существовали при одном и том же числе Рейнольдса Re = 10⁶, то согласно формулам (8.77) и (9.8) получили бы

Следовательно, при турбулентном режиме коэффициент сопротивления приблизительно в 3 раза больше, чем при ламинарном; поэтому способами, описанными в [15, 28] стремятся сохранить ламинарный режим пограничного слоя на поверхности обтекаемых тел и предотвратить или затянуть его переход в турбулентный.

Если ламинарный участок пограничного слоя на пластине не может считаться пренебрежимо малым, то необходимо учитывать создаваемое им сопротивление, а началом турбулентного слоя считать точку перехода. В этом случае в формуле (9.5') можно допустить, что в точке перехода значения толщины ** потери импульса для ламинарного и турбулентного участков равны: _л** ==_т** = _т**; где _л** — толщина потери импульса в точке перехода. Согласно формуле (8.80)

(9.10)

где x_п определяется по числу Рейнольдса, отвечающему точке перехода: Rе_n = u₀x_n/, которое должно быть известным.

С другой стороны, из выражения (9.5') получаем

Исключая постоянную С, находим

(9.11)

По этой формуле можно вычислить значение ** в любой точке турбулентного участка, поскольку _п** известно из выражения (9.10). Полную силу трения найдем суммированием сопротивлений на ламинарном и турбулентном участках:

где _l ( определяется по выражению (9.11) при х = l.

Изложенный метод расчета турбулентного пограничного слоя на пластине построен на эмпирической зависимости, полученной в опытах с гладкими пластинами. В практических условиях течение вдоль пластины (поверхности крыла, лопасти, корпуса) чаще всего не является гидравлически гладким. Как и течение в трубе, любое течение в турбулентном пограничном слое да шероховатой поверхности можно отнести к одному из трех режимов: гидравлически гладкому, при котором высота выступов поверхности не влияет на сопротивление; переходному или режиму неполного проявления шероховатости, при котором на коэффициент сопротивления влияют как число Рейнольдса, так и шероховатость; режиму полного проявления шероховатости или квадратичному, при котором коэффициент сопротивления зависит только от шероховатости.

Аналогом относительной шероховатости трубы /R₀ в пограничном слое является величина / или /**. Однако между этими аналогами есть существенная разница. Для трубы при постоянном  относительная шероховатость остается постоянной, тогда как в пограничном слое величина / (или /**) уменьшается вниз по течению вследствие возрастания . В связи с этим режимы течения на отдельных участках пограничного слоя могут быть неодинаковыми. Если, например, принять, что турбулентный пограничный слой образуется от переднего края пластины, то на передней части последней, где  мало, отношение / будет велико и может иметь место режим полного проявления шероховатости. По мере удаления от переднего края величина / уменьшается и может быть достигнут режим неполного проявления шероховатости, а затем и гидравлически гладкий. Границы между участками с разными режимами определяются значениями безразмерного параметра u_ / так же, как для течения в шероховатых трубах.

Для определения сопротивления шероховатых пластин можно использовать эмпирический метод, примененный выше к гладким пластинам. Для этого следует установить эмпирическую связь между местным коэффициентом трения и параметрами, от которых он зависит.

Для режима полного проявления шероховатости установлен закон сопротивления

(9.12)

Подставляя это выражение в уравнение импульсов (9.3) и интегрируя при граничном условии ** при х = 0, получаем

(9.13)

Исключая в формуле (9.12) толщину потери импульса, с помощью зависимости (9.13) после простых вычислений находим формулу для местного коэффициента сопротивления трения

(9.14)

Коэффициент полного сопротивления трения шероховатой пластины

(9.15)

В переходном режиме коэффициент сопротивления трения зависит не только от шероховатости, но и от числа Рейнольдса. Л.Прандтль и Г. Шлихтинг, исходя из логарифмического закона скоростей и допущения об аналогии между течением в трубе и в турбулентном пограничном слое, выполнили расчеты коэффициента сопротивления трения во всех трех режимах течения. На рис. 9.6 результаты этих расчетов представлены в виде номограммы. Два семейства кривых создают удобство в пользовании номограммой при выполнении вариантных расчетов. Штриховой линией обозначена граница квадратичной области. Номограмма построена на основе предположения, что турбулентный слой начинается от переднего края пластины.

Существенный интерес представляет вопрос о допустимой величине выступа профиля неровности поверхности. Допустимой называют такую высоту выступа, при которой шероховатость еще влияет на сопротивление. Иными словами, допустимая высота выступа определяет границу между гидравлически гладким и переходным режимами течения в пограничном слое. С практической точки зрения допустимую высоту выступа важно знать, чтобы сформулировать требования к качеству обработки поверхностей.

Исследования течения в трубах (см. п. 6.7) приводят к выводу, что граница гидравлически гладкого режима определяется неравенством

Рис. 9.6. Номограмма для определения коэффициента сопротивления трения в турбулентном пограничном слое на пластине

Этим критерием можно воспользоваться и для пограничного слоя на шероховатой пластине. Однако практически удобнее выразить допустимую высоту выступа неровности поверхности в виде отношения (/l)_доп. Для этого можно воспользоваться номограммой (рис. 9.6), из которой видно, что для любого заданного Re = u₀l/v допустимая высота выступа определяется той кривой l/, которая сходит с кривой гидравлически гладкого режима при этом числе Рейнольдса. Можно убедиться, что различным числам Рейнольдса приближенно соответствуют следующие значения:

Re= и01/ v	105	106	108	109
(/l)доп	10-3	10-4	10-6	10-7

Эти данные позволяют заключить, что

Этой формулой можно с известным запасом пользоваться для определения _доп .

Заметим в заключение, что выше речь шла только о равномерно-зернистой или эквивалентной ей шероховатости поверхности. Вопрос о влиянии местных неровностей (например, заклепок), а также неравномерно распределенных выступов на сопротивление обтекаемых поверхностей требует специального рассмотрения.