9.6. Расчет турбулентного пограничного слоя с градиентом давления

Наличие градиента давления во внешнем потоке, а значит, и в пограничном слое, значительно усложняет задачу расчета последнего. Но ввиду практической значимости вопроса он привлекает внимание многих исследователей, и в настоящее время разработаны разнообразные методы решения, опирающиеся на приближенные допущения и эмпирические зависимости. В последние годы получили развитие численные методы решения дифференциальных уравнений (9.3), которые дополняются выражениями турбулентных напряжений согласно одной из полуэмпирических теорий. Для приведения полученной таким путем системы уравнений к виду, удобному для численного решения, используют безразмерные переменные. При этом в некоторых методах применяют специальные преобразования координат для создания более равномерного распределения параметров потока по толщине; в принятых переменных формулируют граничные условия и систему решают на ЭВМ одним из конечно-разностных методов (например, методом сеток или прямых).

Численные методы позволяют найти все параметры течения в пограничном слое и получить его достаточно полное описание. Однако эти методы трудоемки и требуют значительных затрат времени. Краткую характеристику этой группы методов можно найти в работе [27], а подробное изложение — в специальной литературе.

Другая группа методов основывается на интегральных соотношениях пограничного слоя и в первую очередь на зависимости (8.83). Для ее интегрирования необходимо иметь дополнительные связи между параметрами, например, вида Н (**) и С_f (**), которые устанавливают, пользуясь полуэмпирической теорией турбулентности.

Рассмотрим общую схему расчета, основанного на аппроксимации профиля касательных напряжений, идея которого принадлежит К. К. Федяевскому [27].

Примем следующие зависимости для касательных напряжений:

в вязком подслое  =  ди/ду;

в турбулентном слое = l² (ди/ду)².

Используя обозначения ₀ =  ди/ду_{|у = 0}, u_ =  = у/, получаем

(9.16)

(9.17)

Величина  = (U — u)/u_ носит название «дефекта» скорости.

Если теперь установить каким-либо способом вид зависимости /₀= f_() и l(), то по формулам (9.16) и (9.17) можно построить безразмерные профили скорости в вязком подслое и в турбулентной области соответственно. В рассматриваемом методе для функции f_ () принимается аппроксимация полиномом

(9.18)

степень которого зависит от числа граничных условий, используемых для определения коэффициентов b_i. Примем следующие вполне достоверные условия.

На стенке ( = 0), очевидно, f_ (0) = 1. Кроме того, из уравнений (8.83) при  = 0

На границе пограничного слоя

Вводя обозначение

(9.19)

и подставляя указанные граничные условия в формулу (9.18), после определения коэффициентов b₀, b₁, ... находим

(9.20)

Для закона распределения длины пути перемешивания следует принять одну из эмпирических или полуэмпирических зависимостей. Расчеты показывают, что для внешней задачи и для течений в плоских каналах подходит формула Прандтля — Никурадзе

(9.21)

полученная по результатам экспериментов, проведенных на гладких трубах.

Подставляя выражение (9.20) в зависимость (9.16), вычисляя интеграл и ограничиваясь членами порядка не выше ², получаем закон распределения скорости в вязком подслое:

(9.22)

где

Отсюда следует, что профиль скорости в вязком подслое зависит в общем случае от одного параметра Ф, а значит, от градиента давления и только при др/дх = 0 является линейным.

Безразмерный профиль скорости в турбулентной части пограничного слоя можно построить, подставив выражения (9.20) и (9.21) в формулу (9.17) и вычислив интеграл. В общем случае это можно сделать только численно. Однако ясно, что безразмер-

ный профиль дефекта скорости  будет зависеть от одного параметра Ф. При этих расчетах необходимо знать толщину _л вязкого подслоя. Ее можно найти исходя из допущения, что на границе вязкого подслоя с турбулентным течением местное число Рейнольдса Rе_л = u_л_л./ достигает некоторого критического значения ²_. Согласно выражению (9.22) на этой границе справедливо соотношение

(9.23)

где _л = _л/

Сравнение расчетов с экспериментальными данными показало, что  10. Поскольку _л < 1, можно пренебречь членом, содержащим _л³, в результате чего получается зависимость, определяющая толщину вязкого подслоя:

(9.24)

Связь между толщиной пограничного слоя  и напряжением на стенке ₀ устанавливают исходя из условия, что на границе вязкого подслоя (у = _л) скорости потока, вычисленные по формулам (9.17) и (9.22), должны быть одинаковыми:

(9.25)

Эта зависимость называется законом сопротивления. Если использовать выражение (9.23), то можно исключить Re_ и представить закон сопротивления в виде

(9.25')

Вычислив интегралы в правой части формул (9.16) и (9.17), можно определить интегральные характеристики пограничного слоя

9.26)

где

При вычислении интегралов J₁ и J₂, на участке от  = 0 до ₁= ₂. используют формулу (9.22), а на участке от _л до 1 — (9.17). Теперь параметр H = */** выразим зависимостью

(9.27)

Число Рейнольдса Re** представим в форме

и используем формулы (9.23) и (9.26) для Re_ и **/. Получим связь между Re** и толщиной вязкого подслоя:

(9.28)

Если теперь задать ряд произвольных значений _л , то для каждого фиксированного Ф можно вычислить: u_/U по формуле (9.25') и затем С_f = С_T = 2 (u_/U )²; H — по (9.27); */ и **/ — по (9.26), а по (9.28) — соответствующее, число Re**.

Следовательно, эти параметры могут быть выражены как функции числа Re** и формпараметра Ф. Но расчеты показали, что вместо последнего удобнее использовать формпараметр Бури — Лойцянского

(9.29)

где С_т0—коэффициент сопротивления трения при Ф=0.

С учетом выражения (9.26) формулу можно записать в виде

(9.29)

Анализ результатов расчетов показывает, что интегралы J ₁ и J₂, при lg Re** > 3 ... 3,5 являются функциями только формпараметра Ф. Учитывая выражение (9.25), заключаем, что вместо переменных Re** и Ф, можно использовать Re** и f, т, е. найти С_T/С_T0 (f Re**) и H (f, Re**). Эти зависимости рассчитаны на ЭВМ, изображены графически и для них найдены интерполяционные формулы [27].

Теперь расчет пограничного слоя можно выполнить по следующей схеме. Так как скорость внешнего потока является заданной (или заранее рассчитанной величиной), то, внося в интегральное соотношение импульсов (8.83') найденные зависимости для С_T и H, можно это уравнение рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно толщины потери импульса **. Интегрирование выполняют одним из численных методов. После нахождения **(х) по указанным выше зависимостям определяют остальные параметры пограничного слоя (С_T, H и др.). Координату точки отрыва находят из условия С_T = 0. Расчеты выполняют на ЭВМ с использованием стандартных программ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.