4.3. Относительный покой жидкости
Состояние, при котором жидкость покоится относительно стенок резервуара, движущегося с постоянным ускорением относительно Земли, называют обычно относительным покоем. Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками резервуара, приходим к статической задаче, основой для решения которой служат уравнения Эйлера (4.1). В соответствии с известным принципом механики при использовании уравнений равновесия в системе координат, которая движется с ускорением, необходимо в число действующих массовых сил включить также силы инерции. Имея это в виду, рассмотрим два случая относительного равновесия.
1. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.
Рассмотрим состояние жидкости в сосуде (рис. 4.4, а) по истечении достаточного времени после начала вращения, когда достигнут относительный покой. Выберем оси координат, как показано на рис. 4.4, а, и применим к жидкости дифференциальное уравнение гидростатики в форме (4.9). В число массовых сил наряду с силой тяжести Fg = g необходимо включить центробежную силу инерции
где v окружная скорость жидкой частицы, находящейся в произвольной точке М (х, у); r— радиус вращения частицы, r0— единичный вектор радиального направления; — угловая скорость сосуда.
Для проекций на оси координат результирующей массовых сил получим выражения
Fz = –g.
Подставляя эти выражения в уравнения (4.9), получаем
или
После интегрирования находим
Полагая р = const, из выражения (4.17) получаем уравнение изобарических поверхностей
Как следует из формулы (4.18), эти поверхности представляют собой конгруэнтные параболоиды вращения с осью z. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.
Обозначим через z0 координату вершины параболоида свободной поверхности (рис. 4.4, a). Так как в вершине х = у = 0, С1 = gz0 и уравнение свободной поверхности согласно выражению (4.18) имеет вид
Если внешнее давление равно p0, то, задавая в уравнении (4.17) р = p0, х = у = 0, z = z0, находим постоянную С = p0 +gz0. Тогда закон распределения давления можно выразить формулой
Для произвольной точки М с координатами х, у, z выражение в скобке представляет собой заглубление h точки М под свободную поверхность. Таким образом,
т. е. справедлив линейный (гидростатический) закон распределения давления по глубине, которая в данном случае отсчитывается от криволинейной свободной поверхности.
2. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением.
Рассмотрим равновесие жидкости в сосуде, движущемся с ускорением а вдоль прямой MN, наклоненной к горизонту под уг-
Подставляя эти выражения в уравнение равновесия (4.9), получаем
а после интегрирования
Полагая в уравнении (4.21) p = const. получаем уравнение изобарических поверхностей
Уравнение (4.22) дает семейство плоскостей, параллельных оси у. Одной из этих плоскостей является свободная поверхность. Обозначим через z0 координату точки пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (4.22) х = 0 и z = z0, находим C1 == для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид
Если сосуд движется без трения только под действием силы тяжести, то j = g sin и = 0, т. е. свободная поверхность параллельна плоскости MN.
Полагая в формуле (4.21) х = 0, z = z0 и р = р0, находим произвольную постоянную
Закон распределения давления имеет вид
p = p0 + (j – g sin) x + (z0 - z) (4.24)