5.5. Некоторые гипотезы о турбулентных напряжениях

Рассмотрим прямолинейный установившийся турбулентный поток с неравномерным распределением усредненных скоростей, зависящих только от координаты у (рис. 5.4). Одна из существующих гипотез о связи турбулентного напряжения _Т с усредненной скоростью и выражается зависимостью

(5.29)

Рис. 5.4. Распределение скоростей в установившемся турбулентном потоке вблизи стенки

Эта формула, предложенная Ж.Буссинеском* (1877 г.), формально аналогична формуле Ньютона для вязкостного напряжения _. Коэффициент  называется кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости и имеет размерность L²/T. Если предположить или установить из опыта зависимость  от координат, то выражением (5.29) будет определена связь турбулентного напряжения и усредненной местной скорости.

Простейшим является допущение о постоянстве  для того или иного класса турбулентных течений. В некоторых частных случаях (для свободных турбулентных струй, свободной турбулентности) оно оправдывается в том смысле, что построенные теоретические закономерности распределения усредненных скоростей и других параметров с достаточной для практических целей точностью совпадают с результатами опытов. Однако в большинстве случаев допущение  = const приводит к результатам, отличающимся от экспериментальных.

Для течений, ограниченных стенками, можно подобрать зависимости  от координат, дающие достаточно точное соответствие теоретических и экспериментальных данных. Так, для течения вблизи плоской стенки, уравнение которой у = 0 (см. рис. 5.4), предположение, что  = ky, где k = const. приводит к логарифмическому распределению усредненных скоростей, хорошо подтвержденному опытами (см. ниже). Для течений в трубах Госсом (1961 г.) предложена зависимость  = k₁ [1 — (1 — у/r₀)²], где k₁ = const; r₀ — радиус трубы. Она дает удовлетворительные результаты. Есть и другие предположения относительно величины .

Полуэмпирическая теория Л. Прандтля — (1925 г.), широко применяемая в разнообразных задачах, основана на понятии

__________________

• Жозеф Валантен Буссинеск (1842—1929) — французский ученый, механик, доктор и профессор Парижского университета, член Парижской академии наук. Изучал турбулентные течения, волны в открытых руслах, гидравлический прыжок, гидравлические сопротивления, фильтрацию. Внес значительный вклад в развитие прикладной гидромеханики.

••Людвиг Прандтль (1875—1953) — немецкий ученый в области механики, один из основателей экспериментальной аэродинамики. Наиболее значительные результаты получил в области течений вязких жидкостей и газов. Создал полуэмпирическую теорию турбулентности, нашедшую широкое применение, получив фундаментальные результаты в теории пограничного слоя, проявив при этом уникальную физическую интуицию и глубокое понимание сущности явлений. В Геттингенском университете создал школу гидроаэродинамики, которая из­вестна крупными научными достижениями.

пути перемешивания. Чтобы пояснить его, допустим, что жидкая частица, имевшая в слое 1 усредненную скорость (см. pис. 5.4), под влиянием турбулентной пульсации перемещается на расстояние l в слой 2, где усредненная скорость равна . Основное допущение данной теории заключается в том, что путь между слоями 1 и 2 жидкая частица проходит без взаимодействия с другими частицами, т. е. так, как молекула газа проходит путь свободного пробега. Тогда в результате смешения с частицами слоя 2 переместившаяся частица приобретает усредненную скорость этого слоя, т. е. в нем будет иметь место пульсация продольной скорости:

Далее предполагают, что и'_х и u'_y — величины одного порядка. Следовательно,

Модуль касательного турбулентного напряжения

(5.30)

где l—линейная величина, в которую включен коэффициент пропорциональ­ности из предыдущего выражения.

Величину l называют длиной пути перемешивания (или смешения). Из приведенных рассуждений следует, что путь перемешивания характеризует существующую в турбулентном потоке возможность для жидких частиц* свободно перемещаться из одного слоя в другой, а значит, является одной из характеристик внутреннего механизма турбулентного потока. Однако не следует понимать его буквально как путь свободного перемещения жидких частиц; в современной гидромеханике эту величину трактуют как геометрическую характеристику внутренней структуры турбулентного потока или как масштаб турбулентности.

Используя выражения (5.29) и (6.30), легко установить связь между кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости ε и длиной пути перемешивания l:

(5.31)

Как гипотеза Буссинеска, так и гипотеза Прандтля сводят задачу нахождения зависимости турбулентных касательных напряжений от усредненных скоростей к задаче определения некоторой функции координат  или l, характерной для турбулентного потока.

______________________________

* Иногда переносимые под влиянием пульсаций жидкие массы называют молями и соответственно турбулентный обмен — молярным.

Решения второй задачи основаны или только на экспериментальных данных, или на дополнительных гипотезах. Так, например, Л. Прандтль предположил, что для полубезграничного потока вдоль плоскости справедлива линейная зависимость длины пути перемешивания l от расстояния у от стенки, т. е. l = μy, где μ— универсальная постоянная. С достаточной степенью точности эта гипотеза была подтверждена опытным путем для потока вблизи плоской стенки, однако оказалась неприменимой для течения в плоском канале и круглой трубе. Для последних случаев предложены эмпирические зависимости, приведенные в гл. 6.

Т. Карман* сделал попытку связать длину l пути перемешивания только с локальными параметрами усредненного потока, для чего ввел гипотезу о подобии пульсаций скорости во всех точках данного турбулентного потока, и на ее основе получил зависимость

которая вытекает также из соображений размерностей. Однако формула Кармана, как и формула Прандтля, подтверждается опытами лишь в ограниченной области вблизи стенки и для потока в трубах дает результаты, резко расходящиеся с действительностью вблизи оси трубы. Тем не менее, введение пути перемешивания оказалось весьма эффективным, так как, определив для него эмпирическую зависимость, можно получить структуру расчетных формул (для скоростей и других параметров течения), дающих результаты, с достаточной степенью точности соответствующие экспериментальным.

Проиллюстрируем изложенное простейшим примером полубезграничного турбулентного потока вблизи плоской стенки (см. рис. 5.4). Поток будем считать двумерным, т. е. предположим, что движение вдоль оси z (по нормали к плоскости чертежа) полностью отсутствует. Поскольку стенка предполагается безграничной, то ни один из усредненных параметров потока не должен зависеть от координаты х, отсчитываемой вдоль стенки. Эти ограничения означают, что

____________________

• Теодор Карман (1881—1963) — выдающийся ученый в области механики. Т. Карману принадлежит ряд исследований по вопросам пограничного слоя, гидравлических сопротивлений, вихревых движений, газогидравлической ана­логии и др.

а также то, что равны нулю все производные по z. Пренебрегая, кроме этого, действием массовых сил, упростим уравнения Рейнольдса:

Второе из этих уравнений определяет изменение давления по нормали к стенке и показывает, что оно имеет место, если поле пульсаций неоднородно по направлению оси у. В этом случае = const. Первое уравнение позволяет найти закон распределения усредненной скорости u_x (у). Перепишем его в виде

Отсюда следует, что суммарное напряжение в рассматриваемом потоке есть величина постоянная: ₀ = _ + _T = const. При­нимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запи­шем полное напряжение:

где знак усреднения скорости и индекс х опущены.

Достаточно очевидно, и это подтверждается опытом, что по мере приближения к стенке турбулентные пульсации должны затухать и, следовательно, должен существовать пристенный слой, где течение почти или полностью ламинарное. Такой слой называют вязким подслоем; как показывают опыты, пульсации в нем хотя и наблюдаются, однако существенного влияния на структуру течения не оказывают. Толщина вязкого подслоя, как правило, невелика (составляет доли миллиметра). В пределах вязкого подслоя _  _T, и последним можно пренебречь. По мере удаления от стенки роль турбулентных пульсаций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, _T  _. Таким образом, весь поток можно разбить на область турбулентного течения и вязкий подслой, в результате чего получаем двухслойную модель турбулентного потока. Для турбулентной области можно пренебречь чисто вязкостными напряжениями и принять

Используя для длины l пути перемешивания формулу Прандтля и вводя обозначение

(5.33)

проинтегрируем последнее уравнение, в результате чего получим зависимость

(5.34)

выражающую закон распределения скоростей в турбулентной области. Величина u_* имеет размерность L/T и называется динамической скоростью. Она является важной и достаточно универсальной характеристикой турбулентного потока (см. гл. 6). Очевидно, зависимость (5.34) не нарушится, если вместо постоянной С введем С' = С — (u_* / ) ln (u_* /v), поскольку u_* и — величины постоянные. Тогда выражение (5.34) примет безразмерный вид:

Величину (u_*y/v можно рассматривать как безразмерное расстояние от стенки. Логарифмический вид формулы (5.35) получен как следствие гипотезы Прандтля. Однако ниже будет показано, что независимо от той или иной полуэмпирической теории распре­деление скоростей турбулентного потока вблизи стенки выра­жается зависимостью

которая описывает универсальный профиль скорости вблизи гладкой стенки.

Рассмотренный пример иллюстрирует, каким образом гипотеза о турбулентных напряжениях позволяет получить практическое решение уравнений Рейнольдса. Правда, из-за простоты данного примера тот же результат может быть получен и без их использования. Тем не менее, эти уравнения составляют основу теории турбулентных потоков и находят все более широкое применение.

Из других гипотез о турбулентных напряжениях следует отметить разработанную Тейлором гипотезу переноса вихрей, согласно которой в турбулентном потоке происходит обмен молярными массами, причем завихренность (угловая скорость деформации) их сохраняется на длине пути перемешивания. Исходя из этой гипотезы, можно получить выражение для турбулентного напряжения

используемое для определения профиля усредненной скорости и других параметров. Как и теория Прандтля теория Тейлора требует дополнительной гипотезы о зависимости l (у) и введения опытных констант.

Кроме рассмотренных выше гипотез о турбулентных напряжениях, существуют и другие. В последнее время успешно

___________________

* Джефри Инграм Тейлор (1886—1976) — английский ученый в области механики, член Лондонского королевского общества. Внес фундаментальный вклад в теорию турбулентности: развил теорию устойчивости течений вязкой жидкости, теорию турбулентной диффузии, создал полуэмпирическую теорию турбулентности.

разрабатываются принципиально иные подходы к изучению турбулентности, в том числе основанные на идеях А. Н. Колмогорова * и использующие теорию вероятностей и статистические методы.

Заметим в заключение, что если задача состоит только в описании закона распределения усредненной скорости в турбулентном потоке, то для простых случаев ее можно решить при помощи анализа размерности опытных данных, не вникая в физическую природу турбулентного течения и не строя для него физических моделей.