Линейные операторы в евклидовом пространстве §1. Общие замечания и напоминания

Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если x, yV, R

1) A(x + y) = Ax + Ay

2) A(x) = A(x)

Def: Вектор xV, x  0 называется собственным вектором оператора А, если R такое, что Ax = x и  при этом называется собственным значением оператора А.

1. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – Е) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператора А только в случае, когда этот корень вещественен.

Def: Оператор А^* называется сопряженным к оператору А, если х, yV, (Ax, y) = (x, A^*y).

2. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: Функция В(x, y) называется билинейной формой в V, если x, yV, , R:

1) B(₁x₁ + ₂x₂, y) = ₁B(x₁, y) + ₂B(x₂, y)

2) B(x,₁y + ₂y₂) = ₁B(x, y₁) + ₂B(x, y₂)

3. Для любой билинейной формы В(x, y) существует линейный оператор А такой, что В(x, y) = (Ax, y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная форма В(x, y) называется симметричной, если B(x, y) = B(y, x). Билинейная форма В(x, y) называется кососимметричной, если B(x, y) = -B(y, x).

4. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5. Для того, чтобы билинейная форма B(x, y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B(x, y) = (Ax, y) был самосопряженным.

Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного

оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.

◀ Пусть  =  + i – корень характеристического уравнения det(A – E) = 0. Пусть (a_ik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе {e_ik}, (a_ikR). Будем искать решение системы , где  =  + i. Система имеет решение i =1, 2, 3, …, n, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение , k = 1, 2, 3, …, n. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем: ,

, или в векторном виде .

Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе на x :

.

Учитывая, что (Ax, y) = (x, Ay) (ведь А – самосопряженный) имеем

(x, y) – (y, y) = (x, y) + (x, x), т.е. ((x, x) + (y, y)) = 0   = 0, т.е.  = R ▶

6. У каждого линейного самосопряженного оператора А в n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (А^Т = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е. ).