МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Н.Р. Беляев

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико-технического факультета

Харьков-2004

Линейные и полуторалинейные формы

в унитарном пространстве

§1. Специальное представление линейных форм

Пусть V – унитарное пространство. Пусть xV  f(x)C, такое что:

1) f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂);

2) f(x) = f(x).

Тогда говорят, что из V в C задан линейный функционал f или линейная форма f (fL(V, C)).

T. Пусть fL(V, C), т. е. f – линейная форма, тогда существует единственный hV

такой, что f(x) = (x, h).

◀ Пусть {e_i} – ортонормированный базис V

xV; ,

т.е. вектор h имеет координаты .

Единственность: Пусть f(x) = (x, h¹) = (x, h²)  (x, h¹ – h²) = 0; xV. Возьмем x = h¹ – h²  (h¹ – h², h¹ – h²) = 0, т.е. h¹ = h² ▶

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

§2. Специальное представление полуторалинейных форм

Пусть x, уV  В(х, у)С такое, что

;

.

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(x, y).

(В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис {e_i}.

уV .

Действие формы В(x, y) однозначно определенно если известны элементы b_ij. Матрица В с элементами b_ij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V, V) такой, что В(x, y) = (x, Ay).

◀ . Оказывается

, т.е. yV  hV. Таким образом, определен оператор h = Ay.

Линейность:

(x, A(₁y₁ + ₂y₂)) = B(x, ₁y₁ + ₂y₂) = B(x, y₁) + B(x, y₂) = (x, Ay₁) + (x, Ay₂) =

= (x, ₁Ay₁) (x, ₂Ay₂) = (x, ₁Ay₁+ ₂Ay₂), т.е. А(₁y₁ + ₂y₂) = ₁Ay₁+ ₂Ay₂.

Единственность:

Пусть B(x, y) = (x, A₁y) = (x, A₂y), тогда (x, A₁y – A₂y) = 0  A₁y = A₂y уV, т.е. A₁ = A₂ ▶

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V, V) такой, что B(x, y) = (Ax, y).

◀ хV или, что тоже определен оператор А такой, что h = Ax. При этом (A(₁х₁ + ₂х₂), у) = В(₁х₁ + ₂х₂, у) = ₁В(х₁, у) + + ₂В(х₂, у) = ₁(Ах₁, у) + ₂(Ах₂, у) = (₁Aх₁ + ₂Aх₂, у) = A(₁х₁ + ₂х₂) = ₁Aх₁ + ₂Aх₂ т.е. оператор А линейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме ▶

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(x, y) = (Аx, y), то в ортонормированном базисе матрица В^Т совпадает с

матрицей линейного оператора А.

◀ Пусть {e_i} ортонормированный базис V. Тогда

▶

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(x, y) = (x, Аy), то в ортонормированном базисе . Доказать самостоятельно.

Примечание: Если А₁ – оператор из 1^й теоремы о спец. представлении и А₂ – из второй, то А₁ = .