Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вышка - лекции Беляева - part 02.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
17.11.2019
Размер:
2.3 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Н.Р. Беляев

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть II

Конспект лекций для студентов физико-технического факультета

Харьков-2004

Линейные и полуторалинейные формы

в унитарном пространстве

§1. Специальное представление линейных форм

Пусть V – унитарное пространство. Пусть xVf(x)C, такое что:

1) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2);

2) f(x) = f(x).

Тогда говорят, что из V в C задан линейный функционал f или линейная форма f (fL(V, C)).

T. Пусть fL(V, C), т. е. f – линейная форма, тогда существует единственный hV

такой, что f(x) = (x, h).

◀ Пусть {ei} – ортонормированный базис V

xV; ,

т.е. вектор h имеет координаты .

Единственность: Пусть f(x) = (x, h1) = (x, h2)  (x, h1h2) = 0; xV. Возьмем x = h1h2  (h1h2, h1h2) = 0, т.е. h1 = h2

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

§2. Специальное представление полуторалинейных форм

Пусть x, уV В(х, у)С такое, что

;

.

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(x, y).

(В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис {ei}.

уV .

Действие формы В(x, y) однозначно определенно если известны элементы bij. Матрица В с элементами bij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V, V) такой, что В(x, y) = (x, Ay).

. Оказывается

, т.е. yVhV. Таким образом, определен оператор h = Ay.

Линейность:

(x, A(1y1 + 2y2)) = B(x, 1y1 + 2y2) = B(x, y1) + B(x, y2) = (x, Ay1) + (x, Ay2) =

= (x, 1Ay1) (x, 2Ay2) = (x, 1Ay1+ 2Ay2), т.е. А(1y1 + 2y2) = 1Ay1+ 2Ay2.

Единственность:

Пусть B(x, y) = (x, A1y) = (x, A2y), тогда (x, A1y A2y) = 0  A1y = A2y уV, т.е. A1 = A2

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АL(V, V) такой, что B(x, y) = (Ax, y).

◀ хV или, что тоже определен оператор А такой, что h = Ax. При этом (A(1х1 + 2х2), у) = В(1х1 + 2х2, у) = 1В(х1, у) + + 2В(х2, у) = 1(Ах1, у) + 2(Ах2, у) = (11 + 22, у) = A(1х1 + 2х2) = 11 + 22 т.е. оператор А линейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме ▶

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(x, y) = (Аx, y), то в ортонормированном базисе матрица ВТ совпадает с

матрицей линейного оператора А.

◀ Пусть {ei} ортонормированный базис V. Тогда

Тº. Если B(x, y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(x, y) = (x, Аy), то в ортонормированном базисе . Доказать самостоятельно.

Примечание: Если А1 – оператор из 1й теоремы о спец. представлении и А2 – из второй, то А1 = .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.