§6. Основные операции над тензорами
Сложение и вычитание тензоров. Определяется
для тензоров одинакового типа, как
покоординатное сложение и вычитание.
Умножение тензора на число. Определяется
для любых тензоров. Умножается каждая
координата тензора на число.
Умножение
тензоров. Определяется для любых
тензоров,заданными своими координатами
в некотором (общем) базисе.
Чтобы
умножить тензор А с координатами
на тензор В с координатами
надо в тензоре В переименовать
индексы
…
на
,
а индексы
на
и составить тензор D типа (p+r,q+s)
с координатами
=
.
Замечание:
операция умножения тензоров, вообще
говоря, не коммутативна: АВ
ВА.
(хотя элементы и одинаковые, но порядок
их, вообще говоря, разный).
Свёртка тензора: Применяется для тензоров типа (p,q) где p 0, q 0.
Среди индексов тензора отмечается один верхний индекс и один нижний, заменяются одной буквой и производят суммирование по этому индексу согласно соглашению. Свертка тензора переводит тензор типа (p,q) в тензор типа (p-1,q-1) т.е. понижает его ранг на 2.
Замечание: Термин свертка можно применить и к паре перемножаемых тензоров А и В, когда у одного тензора отмечается верхний индекс, а другого нижний и по этим индексам производится суммирование.
Симметрирование
тензора по паре нижних индексов (или
верхних).
(
+
)
Аналогично для пары верхних индексов.
Получаемый тензор симметричен по указанной паре индексов.
Альтернирование
тензора по паре нижних индексов (или
верхних).
( - )
Аналогично для пары верхних индексов.
Получаем тензор кососимметричный по указанной паре индексов.
§7.Афинные ортогональные тензоры
Пусть
— эвклидово пространство и {
}
его ортонормированный базис. Если
поставить задачу нахождения базиса {
}
взаимного к базису {
},
то нетрудно видеть что ортонормированный
базис взаимен самому себе:
=
.
Тогда
Следовательно
получим, что
.
Т.е. в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные координаты вектора x совпадают.
При этом можно записать:
В
ортонормированном базисе вместо формул
Гиббса имеем формулу:
.
Рассмотрим переход от одного ортонормированного базиса { } к другому ортонормированному базису { }.
Формулы преобразования для произвольных базисов имели вид:
;
;
;
;
Обозначая
элементы матрицы Р перехода от
базиса {
}
к базису {
}
можно указанные формулы переписать в
виде:
=
;
=
;
умножая скалярно первое равенство на , а второе на получим:
=( , )=( , )= ;
Т.е. для матрицы перехода Р справедливо соотношение P-1=PT или то же самое: PPT=PTP
следовательно матрица оператора перехода ортогональна.
Формулы для
преобразования ковариантных и
контравариантных координат вектора x
имели вид:
=
и
=
.
В случае ортонормированных базисов они
будут иметь вид:
=
и
=
,
Т.е. и ковариантные и контравариантные координаты преобразуются с помощью одной и той же матрицы перехода Р от базиса { } к базису { }, т.е.согласованно с базисными векторами. В силу этого для ортонормированных базисов все координаты векторов ковариантны и преобразуются по одному и тому же закону: = .
В дальнейшем, в соответствии с выше сказанным, в ортонормированных базисах (т.е. при ортогональных преобразованиях) все координаты будут ковариантны, т.е. все индексы нижние.
И наконец:
Def: Аффинным ортогональным тензором А ранга r называется объект, который :
1) В каждом
ортонормированном базисе {
}
евклидова пространства
определяется
координатами
(индексы принимают значения от1 до n).
2) Обладает
свойством, что его координаты
в другом ортонормированном базисе {
}
связаны с координатами
в ортонормированном базисе {
}
соотношениями:
=
…
В дальнейшем изложение будет вестись для аффинных ортогональных тензоров, и для простоты, в дальнейшем именно их будем именовать словом: тензор.