§12. Группа Лоренца

В физике, при изучении поведения тел (частиц) в пространстве и времени, часто полезно, из наглядных соображений, пользоваться 4^х-мерным пространством векторов с координатами (ct, x, y, z)) (c – скорость света)). Такое пространство называется мировым пространством.

В этом пространстве событие изображается точкой в мировом пространстве или мировой точкой.

Частице в мировом пространстве соответствует мировая линия.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К из точки (x₁, y₁, z₁) в некоторый момент времени t₁ отправлен сигнал со скоростью с и этот сигнал принят в точке (x₂, y₂, z₂) в момент времени t₂. Тогда расстояние, которое этот сигнал прошел, равно: , следовательно: c²(t₂  t₁)²  (x₂  x₁)²   (y₂  y₁)²  (z₂  z₁)² = 0. В другой инерциальной системе отсчета К будем иметь:

c²(t₂  t₁)²  (x₂  x₁)²  (y₂  y₁)²  (z₂  z₁)² = 0.

Принцип неизменности скорости света в различных системах отсчета в математической интерпретации обозначает, что не изменяется величина S, где: S² = c²(t₂  t₁)²  (x₂   x₁)²  (y₂  y₁)²  (z₂  z₁)² .

Величина S называется интервалом между двумя событиями в мировом пространстве.

П

реобразования, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой инерциальной системе отсчета К, движущейся относительно К с постоянной скоростью V в предположении бесконечности скорости света называются преобразованиями Галилея:

(x = x +vt, y = y, z = z, t = t).

Если же учитывать конечность скорости света, то такие преобразования носят названия преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца сохраняют интервал. Если в указанном пространстве ввести: , то все векторы (и интервалы) разобьются на:

а) времени-подобные ((x) > 0);

б) изотропные ((x) = 0);

в) пространственно-подобные ((x) < 0).

Если интервал между событиями времени-подобен, то существует К в которой два события произошли в одном и том же месте мирового пространства.

Если интервал между событиями пространственно-подобен, то существует К^ в котором два события произошли одновременно.

Д

ва события могут быть связаны причинно-следственной связью, если интервал между ними времени-подобный.

Рассмотрим псевдоевклидово пространство Еⁿ(p, q) в котором скалярное произведение (x, y) задано симметричной невырожденной билинейной формой, полярной знакопеременной квадратичной форме A(x, x), которая в некоторой системе координат(она называется Галилеевой) имеет вид: .

Def: Линейное преобразование Р псевдоевклидового пространства Еⁿ(p, q) называется преобразованием Лоренца, если x, yEⁿ(p, q), (Рx, Рy) = (x, y).

Тº. Определитель преобразования Лоренца отличен от нуля и, следовательно, существует P^1. Доказать самостоятельно.

Тº. Произведение преобразований Лоренца есть преобразование Лоренца. Доказать

самостоятельно.

Таким образом:

Тº. Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидового пространства

Еⁿ(p, q) c обычной операцией умножения линейных операторов образуют

группу, которая называется общей группой Лоренца псевдоевклидового

пространства Еⁿ(p, q) и обозначена L(n; p, q). Доказать самостоятельно.

Группа L(n; 1, n1) обозначается L(n). Группа Лоренцевых преобразований в рассмотренном выше Е⁴(1, 3) обозначается L(4).

Подгруппа группы L(n) преобразований Р, которые времени-подобные векторы переводят во времени-подобные векторы называется полной группой Лоренца и обозначается L_(n).

Подгруппа группы L(n) преобразований Р, для которых detP > 0 называется собственной группой Лоренца и обозначается L₊(n).

Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат L(n) т.е. переводят времени-подобные векторы во времени-подобные векторы также образуют подгруппу L(n), которая называется группой Лоренца и обозначается L_(n).