§11. Псевдотензоры

В аналитической геометрии при рассмотрении направление результирующего вектора устанавливается условно в зависимости от выбора системы координат. В физике такая ситуация встречается при определении направления векторов угловой скорости, момента сил и др. .

В то же время направление таких векторов, как скорость, ускорение, сила определяется физическим смыслом и не зависит от выбора системы координат.

В свете этого:

Для ортогональных преобразований: ,

Поэтому все линейные ортогональные преобразования разбиваются на два класса: класс собственных линейных ортогональных преобразований, для которых (непрерывные преобразования) и класс несобственных линейных ортогональных преобразований, для которых Δ = –1 (преобразования отражения).

В зависимости от закона преобразования компонент по отношению к этим классам линейных ортогональных преобразований все тензорные величины можно разделить на истинные тензоры (или просто тензоры) и псевдотензоры.

Def: Псевдотензоры – это величины компоненты, которых преобразуются по закону: .

Напомним, что для истинного тензора закон преобразования имеет вид:

.

Из законов преобразования тензоров и псевдотензоров легко убедиться, что:

1. Сумма двух псевдотензоров – псевдотензор.

2. Произведение двух псевдотензоров – истинный тензор.

3. Произведение псевдотензора на истинный тензор – псевдотензор.

4. Свертка псевдотензора дает псевдотензор низшего ранга.

Примеры: 1) Если , то =

, т.е. V = V, где  = 1.

Таким образом, V согласно определению, есть псевдотензор нулевого ранга, т.е. псевдоскаляр.

2) Символ Кронекера _ik представляет собой единичный, симметричный, инвариантный относительно ортогонального преобразования системы координат, истинный тензор 2^го ранга.

3) В паространстве Е₃ в фиксированной системе координат К с ортами е₁, е₂, е₃ рассмотрим величины _ikl = (e_ie_k)e_l.

Ясно, что в правой системе координат: ₁₂₃ = ₂₃₁ = ₃₁₂ = 1; ₂₁₃ = ₁₃₂ = ₃₂₁ = –1. Остальные _ikl равны нулю.

Рассмотрим, как преобразуются величины _ikl при линейных ортогональных преобразованиях. Перейдем в систему К с ортами е_1, е_2, е_3:

_ikl = (e_ie_k)e_l = (р_iie_iр_kke_k)р_lle_l = р_iiр_kkр_ll(e_ie_k)e_l.

Если k и k – обе правые (или левые), то _ikl = (e_ie_k)e_l. Если k и k разной ориентации, то: –_ikl = (e_ie_k)e_l . Тогда: _ikl = р_iiр_kkр_ll_ikl ( = 1, в зависимости от того рассматривается собственное или несобственное преобразование)

По определению величины _ikl образуют псевдотензор 3^го ранга. Он называется алгебраическим символом Леви-Чивита и образует единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор 3^го ранга, инвариантный относительно любого ортогонального преобразования координат.

Легко видеть, что

4) Непосредственным вычислением можно убедиться, что , свертка

по индексам l и c дает: , свертка еще по двум индексам k и b дает: _ikl_akl = 2_ia, и наконец полная свертка приводит к: _ikl_abc = 6.

5) С помощью символа Леви-Чивита легко получить, например, известную формулу для двойного векторного произведения трех векторов:

{A(BC)}_i = _iklA_k(BC)_l =_iklA_k_lmnB_mC_n = _ikl_lmnA_kB_mC_n = (_im_kn  _in_km)A_kB_mC_n =

= _im_knA_kB_mC_n  _in_kmA_kB_mC_n = _imA_nB_mC_n  _inA_mB_mC_n = B_iA_nC_n  C_iA_mB_m = B_i(AC)  C_i(AB) = {B(AC)  C(AB)}_i.