Экзаменационные задачи по курсу "высшая алгебра". Часть II
Найти матрицу A* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и матрице Грамма Г:
а)
:
;
б)
:
.
Найти матрицу A* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и скалярному произведению:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
.
Оператор
переводит векторы a1,
a2, в векторы
b1, b2,
соответственно. Найти оператор
A*,
если базис в котором заданы
,
- ортонормирован:
а)
;
;
б)
;
.
Оператор
задан матрицей в базисе f1,
f2, где f1
= e1 + e2,
f2 = e1
– ie2. Найти A*
в том же базисе.
Оператор
задан матрицей в базисе
,
где
.
Найти
в том же базисе.
В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением
(здесь
и
коэффициенты полиномов p
и q при
)
задан оператор
.
Найти
в следующих базисах:
а)
;
б)
.
В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением
задан оператор
.
Найти
в следующих базисах: а)
;
б)
.
Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом
функций, скалярное произведение имеет
вид:
.
Доказать, что оператор
- эрмитов.
Установить является ли оператор
самосопряженным, если оператор
задан матрицей в базисе с матрицей
Грамма
:
а)
;
б)
;
в)
.
Оператор задан матрицей
в базисе с матрицей Грамма
.
Будет ли оператор
- эрмитовым?
Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:
а)
;
б)
.
Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:
.
Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:
.
Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе
,
а векторы
выражаются через векторы ортонормированного
базиса
:
а)
;
б)
;
в)
.
Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а)
;
б)
.
Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:
а)
;
б)
;
в)
.
Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а)
;
б)
;
в)
.
Привести матрицу
к диагональному виду.Найти:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
;
д)
,
;
е)
,
.
Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:
а)
;
б)
.
Установить, при каких
следующие квадратичные формы являются
положительно определенными:
а)
;
б)
.
Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:
а)
;
б)
.
Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:
а)
;
б)
;
в)
.
С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Найти базис, взаимный к данному:
а)
;
б)
.
Вектор
задан своими координатами в том же
базисе, в котором заданы координаты
векторов двух взаимных базисов:
и
.
Найти ковариантные и контравариантные
координаты вектора
.
Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга
.
Используя тензорную форму записи проверить тождества:
а)
;
б)
.
Используя тензорную форму записи, вычислить:
а)
;
б)
;
в)
; г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
(здесь
- постоянные векторы,
- радиус вектор).
Используя тензорную форму записи, доказать тождества:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
(здесь
- векторные поля,
- скалярное поле).
Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления)
,
где
- постоянные векторы,
- орт нормали к поверхности
,
которая ограничивает объем
.
32. Найти результат действия перестановок:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Возвести перестановки в степень:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найти перестановку, обратную перестановке:
.Найти
.
Найти:
а)
;
б)
Если
группа перестановок
чисел, то найти все подгруппы
.
Построить смежные классы к
в
,
где
и
- группы корней 3-й и 6-й
степени из 1, соответственно.
Построить смежные классы к
в
,
где
и
- группы корней 4-й и 8-й
степени из 1, соответственно.
Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 3-й и 6-й степени из 1, соответственно.
Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 4-й и 8-й степени из 1, соответственно.
Найти все гомоморфизмы в , где
группа корней n-й
степени из 1.
Найти фактор-группу
,
если:
а)
- группа целых чисел,
- подгруппа чисел, кратных заданному
целому
числу
;
б) - группа всех вещественных чисел по сложению, - подгруппа целых
чисел;
в) - группа всех комплексных чисел по сложению, - группа веществен-
ных чисел тоже по сложению;
г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - группа
положительных вещественных чисел по умножению;
д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - подгруппа
чисел по модулю равных 1.
43. Найти нормальную жорданову форму матрицы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.