Сопряженные и самосопряженные операторы в унитарном пространстве §1. Сопряженный оператор

Def: Оператор А^*L(V, V) называется оператором, сопряженным к оператору АL(V, V), если х, уV; (Ах, у) = (х, А^*у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

◀ (х, А^*(₁у₁ + ₂у₂)) = (Ах, ₁у₁ + ₂у₂) = (Ах, у₁) + (Ах, у₂) =

= (х, А^*у₁) + (х, А^*у₂) = (х, ₁А^*у₁) + (х, ₂А^*у₂) = (х, ₁А^*у₁+ ₂А^*у₂) ▶

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

◀ Так как (Ax, y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим - B(x, y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, y) = B(x, y) = (x, A^*y) ▶

Свойства сопряженных операторов.

1° Е^* = Е. ◀ (Ех, у) = (х, у) = (х, Еу) ▶

2° (А + В)^*=А^*+В^*.

◀ ((А + В)х, у) = (Ах + Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (х, А^* у) + (х, В^* у) = (х, (А^* + В^*)у) ▶

3° (А)^* = . ◀ (Ах, у) = (Ах, у) = (х, А^*у) = ▶

4° (А^*)^*=А. ◀ (А^*х, у) = = (х, Ау) ▶

5° (АВ)^*=В^*А^*. ◀ (АВх, у) = (А(Вх), у) = (Вх, А^*у) = (х, В^*(А^*)у) = (х, В^*А^*у) ▶

6° (А^–1)^*=(А^*)^–1.

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство 3° имеет вид: (А)^* = А^*

Примечание: физики очень часто обозначают А^* как А⁺ (читается А – крест) и операцию называют эрмитовым сопряжением.

§2. Эрмитовы (самосопряженные) операторы

Def: Оператор АL(V, V) действующий в унитарном пространстве называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А^*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А – произвольный линейный опреатор из L(V, V). Введем операторы А_R и А_I по правилу А_R = ; А_I = , тогда А = А_R + iА_I и кроме того:

а) (А_Rx, y) = ( x, y) = (x, ( )^*y) = (x, y) = (x, A_Ry);

б) (А_Ix, y) = (( )x, y) = (x, ( )^*y) = (x, y) = (x, A_Iy);

т.е . А_R и А_I эрмитовы.

Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора) AL(V, V)

существуют эрмитовы операторы А_R и А_I такие, что А = А_R + iА_I (при

этом операторы А_R и А_I называются вещественной и мнимой частью

оператора А)

Def: Операторы A, BL(V, V) называются коммутирующими операторами если АВ = ВА.

Оператор называется коммутатором операторов А и В, и при этом – это необходимое и достаточное условие коммутируемости операторов А и В.

Т°. Произведение эрмитовых операторов А и В будет эрмитовым оператором тогда

и только тогда когда операторы А и В коммутируют (т. е. АВ = ВА).

◀ Так как операторы А и В эрмитовы, то:

(АВ)^* = В^*А^* = ВА (ф)

тогда:

а) Если АВ = ВА, то из (ф) (АВ)^*= АВ, т. е. оператор АВ – эрмитов.

б) Если АВ эрмитов, то (АВ)^*= АВ и из (ф) АВ = ВА т.е. операторы коммутируют ▶

Т°. Если А – эрмитов оператор, то xV; (Ax, x)R (здесь R - множество вещественных чисел).

◀ из свойств скалярного произведения (Ах, х) = (х, Ах) из эрмитовости оператора. Тогда , т.е. (Ax, x)R ▶

Т°. Собственные числа эрмитового оператора вещественны.

◀ Пусть xV, х  0 и С такие, что Ах = λх. Тогда:

(х, х)  0,  – вещественно ▶

Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным

собственным значениям – ортогональны.

◀ Пусть Ах₁ = λ₁х₁, Ах₂ = λ₂х₂ и .

Тогда (Ах₁, х₂) = (λ₁х₁, х₂) = λ₁(х₁, х₂) равны как эрмитовы (х₁, Ах₂) = (х₁, λ₂х₂) = (х₁, х₂) = = λ₂(х₁, х₂) и получено (λ₁ – λ₂)(х₁, х₂) = 0  (х₁, х₂) = 0 ▶