- •Высказываниящ, операции над высказываниями: отрицание, «и», «или», «следует»
- •Построение отрицаний
- •Утверждение «следует», «обратное», «противоположное». Доказательство от противного, необходимое и достаточное условия
- •4. Множества, операции над множествами
- •5 Конструкция высказывания с кванторами существования и всеобщности, построение отрицаний
- •6. Координаты точки на прямой, расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном соотношении
- •7. Координаты точки на плоскости, расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном соотношении
- •8. График уравнения. Уравнение кривой. Примеры: график линейного уравнения, уравнение окружности
- •9. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •10. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •11. Вектор на плоскости, координаты вектора, длина вектора. Операции над векторами. Орт вектора. Условие параллельности векторов
- •12. Скалярное произведение векторов, условие перпендикулярности
- •13. Координаты точки в трехмерном пространстве, векторы в трехмерном пространстве
- •14. Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- •15. Векторы. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов
- •16. Матрицы. Сложение, умножение, умножение на вектор
- •17. Определитель второго порядка. Условие равенства нулю
- •18. Определитель третьего порядка. Вычисление разложением по столбцу, по строке и по правилу треугольника.
- •19. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера
- •20. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •21. Числовая прямая, модуль числа и его геометрический смысл, неравенство треугольника
- •22. Функция, область определения, график. Основные элементарные функции и их графики
- •23. Преобразования графиков функций – сдвиг, растяжение
- •24. Последовательность. Примеры
- •25. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малая величина, последовательность, функция.
- •26. Бесконечно большая функция, последовательность, величина
- •27. Теоремы об арифметических операциях над пределами
- •28. Сравнение бесконечно малых величин. Понятие главной части. Сравнение скорости роста степенной, показательной и логарифмической функций.
- •29. Определение производной функции в точки, ее геометрический смысл
- •30. Производные основных элементарных функций
- •31. Производная константы, суммы, произведения, отношения. Производная сложной функции.
- •32. Дифференциал функции в точке. Формула Тейлора
- •33. Применение формулы Тейлора к приблизительным вычислениям
- •34. Условие монотонности функции на промежутке
- •35. Условие экстремума функции в точке
- •36. Выпуклость функции на промежутке, условие выпуклости, точки перегиба
- •37. Схема построения графиков функций
- •38. Функция нескольких переменных. Частные производные. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных
- •39. Получение эмпирических формул по методу наименьших квадратов. Построение линейной эмпирической зависимости по методу наименьших квадратов.
- •40. Первообразная функции на промежутке
- •41. Неопределенный интеграл и его основные свойства
- •42. Метод разложения. Примеры
- •43. Метод подстановки. Примеры
- •44. Определенный интеграл. Определение, физическая и геометрическая
- •45. Формула Ньютона-Лейбница
- •46. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •47. Несобственные интегралы. Определение сходимости
- •48. Понятие о дифференциальных равнениях
- •50. Понятие о средних. Среднее арифметическое, квадратичное, геометрическое, гармоническое и их определяющие свойства. Неравенства между средними.
Высказываниящ, операции над высказываниями: отрицание, «и», «или», «следует»
Алгебра высказываний является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0. Объединение двух высказываний в одно при помощи союза «И» называется операцией логического умножения. Полученное таким образом высказывание называется логическим произведением. Истинность произведения высказываний зависит от истинности перемножаемых высказываний и может быть определена с помощью следующей таблицы:
Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ», употребляемого в неисключающем смысле, называется операцией логического сложения.
Установить истинность логической суммы можно с помощью следующей таблицы:
Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. Истинность высказывания определяется таблицей:
Построение отрицаний
Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. Истинность высказывания определяется таблицей:
Утверждение «следует», «обратное», «противоположное». Доказательство от противного, необходимое и достаточное условия
Логическое высказывание — упрощение термина «Суждение» из формальной логики, используется в математической логике. Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.
Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание.
Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.
Составное логическое высказывание — это высказывание, образованные из других высказываний с помощью логических связок.
Логическая связка — это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.
Элементарные логические высказывания — это высказывания не относящиеся к составным.
Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».
Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие). Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Доказательство «от противного» в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы в классической логике и законе двойного отрицания.
Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.
Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Суждение Q является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) Q следует (истинность) X, то есть в случае истинности Q проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение Q называется признаком (элементов) M.
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.