§12. Связь тензоров 2го ранга с матрицей линейного оператора и с определителями

Пусть в Е_n задан линейный оператор А с матрицей (а_ij). Тогда: y_i = a_ijx_j (в базисе е_i). Рассмотрим в Е_n базис {e_i}: y_i = a_ijx_j  p_iiy_i = a_ijp_jjx_j . Умножим обе части равенства на p_ik. p_iip_iky_i = a_ijp_jjp_ikx_j  _iky_i = a_ijp_jjp_ikx_j  y_k = p_ikp_jja_ijx_j. С другой стороны: y_i = a_ijx_j, т.е. a_ij = p_iip_jja_ij.

Таким образом, элементы матрицы линейного оператора образуют тензор 2^го ранга.

Наоборот всякий тензор 2^го ранга можно истолковать как матрицу линейного оператора.

Поэтому теория тензоров 2^го ранга непосредственно связана с теорией линейных операторов и с теорией матриц.

Это дает возможность выявить связь тензоров 2^го ранга с определителями и т.д.

Теперь: пусть _ik – произвольный тензор 2^го ранга. Построим тензор 3^го ранга _abc по правилу: _abc = _ikl_ia_kb_lc . Тогда _bac = _ikl_ib_ka_lc _kil_kb_ia_lc = _kil_ia_kb_lc = =_ikl_ia_kb_lc = –_abc. Следовательно абсолютно антисимметричный тензор 3^го ранга всегда можно представить в виде: _abc = _abc, где φ – скаляр. Т.е. каждому тензору 2^го ранга φ_ik можно поставить в соответствие скаляр φ такой, что:

_ikl_iа_kb_lc = _abc (*)

Оказывается, что этот скаляр равен определителю, составленному из компонент φ_ik: , в этом легко убедиться непосредственным вычислением, например, зафиксировав в (*) говорящие индексы (скажем а = 1, b = 2, c = 3) и выполнив суммирование по немым индексам i, k, l: ₁₂₃ = _ikl_i1_k2_l3 = …

В этой же идеологии нетрудно ввести понятия тензора обратного к данному тензору 2^го ранга (Если , то тензор обратный к тензору _ik), и получить условия обратимости тензора 2^го ранга.

Можно сформулировать (а для симметричного тензора и всегда решить) задачу о приведении тензора 2^го ранга к главным осям. Эта задача равносильна задаче построения собственного базиса для линейного оператора.

§13.Тензорные поля

В физических приложениях, как правило, встречаются тензоры, компоненты которых представляют собой функции координат (x₁, x₂, x₃) точек пространства.

Def: Тензорным полем r^го ранга (x₁, x₂, x₃) является совокупность 3^r функций, которые в любой данной точке пространства образуют тензор r^го ранга.

Изучение тензорных полей и составляет предмет тензорного анализа.

В дальнейшем речь будет идти о непрерывных тензорных полях , (где – радиус-вектор точки с координатами x₁, x₂, x₃). Это значит, что абсолютные величины разностей могут быть сделаны сколь угодно малыми, при достаточно малых .

§14. Дифференцирование тензорного поля по координатам точки пространства

Пусть – тензорное поле r^го ранга. Каждую из 3^r компонент этого поля продифференцируем по каждой из трех координат x₁, x₂, x₃. Получим совокупность 3^r+1 функций вида (j = 1, 2, 3).

Тº. Если – тензорное поле ранга r, то будет тензорным полем ранга (r + 1).

◀ Отметим что, если x_i = p_ii то = p_ii = , и следовательно

▶

Итак, дифференцирование тензорного поля по координатам повышает ранг тензорного поля на единицу.

В частности, применение этой операции к скалярному полю φ порождает векторное поле , которое называется градиентом скалярного поля.

По аналогии с градиентом скалярного поля, тензорное поле (j = 1, 2, 3) называют градиентом тензорного поля ранга r.