§2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов
Пусть En –
евклидово пространство, пусть {e1,
e2, …, en
} базис в En
и {e1, e2, …, en}
другой базис в En.
Базисы {ei}
и
{ei}
называются взаимными, если (ei,
ej)
=
=
.
символ
Кронекера-Капелли.
Т. Любой базис {ei} из En имеет единственный взаимный базис.
◀ Пусть
ej
=
e1
+
e2
+ … +
en.
Умножим равенство скалярно на ei.
(ei, ej) = (ei, e1) + (ei, e2) + … + (ei, en) = , i, j = 1, 2, …, n.
Имеем
неоднородную систему n-линейных
уравнений с n неизвестными
,
Определитель этой системы есть Г(e1,
e2, …, en)
0, т.е. система имеет
единственное ненулевое решение.
Следовательно векторы ej определяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).
Пусть 1e1 + 1e2 + …+ nen = 0. Умножим скалярно на ei.
1(ei, e1) + 2(ei, e2) + … + n(ei, en) = 0 i = 0, i, j = 1, 2, …, n ▶
Замечание: если базис {ei} ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.
Пусть {ei} и {ej} взаимные базисы в Еn.
Тогда хЕn
(1)
(x1, x2, …, xn) называются ковариантными координатами вектора x.
(x1, x2, …, xn) называются контравариантными координатами вектора x.
Смысл названий мы поясним далее.
Соглашение: Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 до n.
Например:
.
Используя, это соглашение формула (1) записывается так: x = xiei, x = xiei, (индекс суммирования может быть обозначен любым символом, результат не изменится – и часто называется «немым» (иногда «глухим») индексом).
Пусть x = xiei. Умножив на ej, получим (x,ej) = xi(ei,ej) = xi = xj. Аналогично x = xiei умножим на ej и получим (x,ej) = xi(ei,ej) = xi = xj. Т.е. получили формулы:
эти формулы называются формулами Гиббса.
Тогда используя формулы Гиббса, запишем: ej = (ej,ei)ei и ej = (ej,ei)ei и обозначив gji = (ej,ei) , gji = (ej,ei) получим ej = gjiei; ej = gjiei.
Т.е. для получения взаимного базиса {ej} по базису {ei} достаточно знать матрицу gji = (ej,ei) и наоборот: для получения базиса {ej} по базису {ei} достаточно знать матрицу gji = (ej,ei) . (Точнее их обратные матрицы).
Т. Матрицы gji и gji – взаимнообратные.
◀ Соотношение
ei
= gjiej
умножим на ek
:
=
(ei,ek)
= gji(ej,ek)
= gjigjk
gjigjk
=
,
т.е. произведение матриц (gji)
и (gji)
есть единичная матрица ▶
Задача 1. По заданному базису {ei} (нижнему) построить ему взаимный базис {ei} (верхний), по заданному верхнему базису построить взаимный нижний.
◀ а) Чтобы построить базис взаимный к нижнему надо найти матрицу GH = (gik) = (ei, ek), обратить матрицу, получив (GH)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FH, строками которой являются векторы нижнего базиса. После перемножения получится матрица FB, строками которой являются векторы верхнего базиса.
б) Чтобы построить базис взаимный к верхнему надо найти матрицу GВ = (gik) = (ei, ek), обратить ее, получив (GВ)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FB, строками которой являются векторы верхнего базиса. После перемножения получится матрица FH,
строками которой, являются векторы нижнего базиса.
в) именно так трактуются формулы: ei = gijei = (gij)–1ei; ei = gijei = (gij)–1ei ▶