Канонический вид линейного оператора §1. Нормальная жорданова форма

Пусть А – линейный оператор, действующий в комплексном векторном пространстве V. Если в V существует базис {e_k} из собственных векторов оператора А, то в этом базисе матрица оператора А имеет диагональный вид , где λ – соответствующие собственные значения оператора А.

Так будет, например, в том случае, когда характеристичное уравнение оператора А: det(A – Е) = 0 имеет n попарно различных корней.

Однако это далеко не всегда так. Например, оператор А с матрицей А = имеет характеристическое уравнение: () = (2  )² = 0. Это уравнение имеет кратный корень λ = 2 и этому корню соответствует лишь один собственный вектор (1, 0) (или ему коллинеарные). И матрица оператора А ни в каком базисе не приводится к диагональному виду.

Поэтому возникает вопрос, о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора.

В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорданову форму матрицы.

Def: Жордановой клеткой G_k(λ) называется квадратная матрица k-го порядка вида:

.

Порядок жордановой клетки может быть любым. В частности, если k = 1, то клетка имеет простейший вид : (λ)

Def: Жордановой матрицей называется матрица вида: . Здесь G_k(λ) – жордановы клетки.

В частности, если оператор А имеет матрицу , то нормальная жорданова форма матрицы оператора состоит из двух жордановых клеток. Нетрудно заметить, что  и β – соответственные значения оператора А. И, кроме того:

Ае₁ = е₁; Ае₂ = е₂ + е₁; Ае₃ = е₃ + е₂; Ае₄ = е₄; Ае₅ = е₅ + е₄.

Тº. Произвольный линейный оператор А в комплексном пространстве V имеет базис

, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим. Построение базиса и приведение матрицы оператора к жордановой форме продемонстрируем на примерах.

Схема нахождения нормальной жордановой формы матрицы оператора и построения жорданова базиса.

Схема построена на построении циклических инвариантных подпространств, которые были рассмотрены в первой части нашего курса.

1. Нахождение собственных векторов и собственных значений оператора А. Если количество собственных линейно независимых векторов равно размерности пространства, то в указанном базисе матрица оператора имеет диагональный вид;

2. Если для кратного собственного значения кратности k количество линейно независимых собственных векторов также равно k, то в этом базисе матрица также имеет диагональный вид;

3. Для кратных собственных значений  таких, что количество линейно независимых собственных векторов меньше кратности корня, поиск базисных векторов производится так:

а) находим собственные векторы А, т.е. базис N(A_) ядра оператора А_ = А – Е;

б) находим М(А_) – образ оператора А_ и его базис;

в) ищем базис М(А_) ∩ N(А_) ;

г) для каждого вектора М(А_) ∩ N(А_) находим прообраз 1-го слоя такой, что А_ , прообраз 2-го слоя такой, что А_ , и т.д. до тех пор пока они есть.

Жорданов базис формируется следующим образом:

а) первыми в базис попадают базисные векторы ядра оператора А_ вместе со своими прообразами х₁, y₁₁, y₁₂, …, х₂, y₂₁, y₂₂,… …, х_р, y_p1, y_p2….

б) затем в базис включаются векторы х_p+1, х_p+2, …, х_l, дополняющие базис М(А_) ∩ N(А_) до базиса ядра оператора А_ , если такие есть.

* Замечание: Процесс проводится для каждого значения  до тех пор пока количество векторов, включенных в базис не станет равным кратности k собственного значения .

Искомый базис: х₁, y₁₁, y₁₂, …, х₂, y₂₁, y₂₂,… …, х_р, y_p1, y_p2…., х_p+1, х_p+2, …, х_l.

( Всего k векторов).