§2. Квадратичные формы в унитарном пространстве

Def: Квадратичной формой называют В(х, х), соответствующую полуторалинейной форме В(х, у).

Тº. Пусть В(х, у) – эрмитова форма в n-мерном унитарном пространстве V. Тогда в V

существует ортонормированный базис {e_k} и существуют вещественные числа λ_k,

что для хV в базисе {e_k}:

◀ В(х, у) – эрмитова  В(х, у) = (Aх, у), где А – эрмитов оператор. А – эрмитов  {e_k} – собственный ортонормированный базис и λ_k – собственные числа оператора А

; .

Тогда: ▶

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº. Пусть А(х, у) и В(х, у) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и, кроме

того, хV, х  , В(х, у) > 0. Тогда в V существует базис {e_k}, в котором:

.

◀ В(х, у) – эрмитова, В(х, у) > 0, хV, х  . Из этих условий: В линейном пространстве V можно ввести скалярное произведение векторов х и у по правилу: (х, у) = В(х, у).

После введения скалярного произведения пространство V станет унитарным и в нем, согласно предыдущей теореме, существует ортонормированный базис {e_k} и числа λ_k, что в этом базисе .

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то и

В(х, х) = (х, х), т.е. В(х, х) = ▶

Унитарные и нормальные операторы §1. Унитарные операторы

Def: Линейный оператор UL(V, V) называется унитарным, если

х, yV (Ux, Uy) = = (x, y) .

1 Из условия унитарности: ||Ux|| = ||x||, ||U|| = 1.

2 Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

◀ Пусть е – собственный вектор с собственными значениями λ и ||x|| = 1. Тогда

| λ | =| λ | || e|| = ||e|| = ||Ue|| = || e|| =1 ▶

Тº. Чтобы линейный оператор UL(V, V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U^* = U^–1.

◀ Необходимость: Пусть U – унитарный  (Ux, Uy) = (x, y)  (x, U^*Uy) = (x, y) 

 (x, (U^*U  Е)у) = 0  U^*Uy = Еу  U^*U = Е  U^* = U^1.

Достаточность: Пусть U^* = U^1  U^*U = Е  (х, у) = (х, U^*Uу) = (Ux, Uy), т.е. U – унитарный ▶

Примечание: U^* = U^1  U^*U = UU^* = Е  (Ux, Uy) = (x, y).

В примечании приведено две эквивалентные формы записи условия унитарности оператора.

Нетрудно убедиться в том, что произведение унитарных операторов – унитарный оператор.

Def: Оператор l называется унитарно подобным оператору L, если существует унитарный оператор U такой, что l = U^*LU,

Напомним, что – называется коммутатором операторов А и В. При этом, если = 0, то А и В коммутирующие операторы.

Обозначим  = U^*.

Для унитарно подобных операторов выполняются следующие соотношения:

1) [L, M] = N  [l, m] = n; 2) L = L^*  l = l^*;

3) L =   l = ; 4) (L₁, ₂)  (l₁, ₂).

§2. Нормальные операторы

Def: Линейный оператор А называется нормальным, если А^*А = АА^*.

1 Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А^* имеют общий собственный

вектор е, такой, что ||e|| = 1, Ae = e, A^*e = .

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим R_λ – собственное подпространство оператора А, т.е. множество хV, Ах = х.

Пусть хR_λ, Ах = х. Тогда А(A^*х) = (АA^*)х = (A^*А)х = A^*(Ах) = A^*(х) = (A^*х).

Получили А(A^*х) = (A^*х), A^*хR_λ. Итак, хR_λ  A^*хR_λ, т.е. оператор A^* действуют из R_λ в R_λ. Следовательно еR_λ, ||e|| = 1, такой, что A^*e = e (собственный вектор А^*), но еR_λ (собственный вектор А); Ах = e; A^*e = e. При этом  = (e, e) = (e, e) = (Ae, e) = (e, A^*e) = (e, e) = (e, e) = ▶

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{e_k}, состоящий из собственных векторов А и А^*.

◀ 1) по предыдущей теореме е₁V, ||e₁|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторов А и А^* с собственными значениями ₁, соответственно.

Пусть V₁ = ℒ^(e₁)  V = ℒ(e₁) V₁. Это значит, что если xV₁  xe₁.

xV₁  (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = ₁(x, e₁) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, ₁e₁) = (x, e₁) = 0, т.е. Ax, A^*xV₁.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₁.

2

) Тогда А и А^* имеют в V₁ общий собственный вектор е₂ (е₂V₁, е₂е₁, ||e₂|| = 1) с собственными значениями ₂, соответственно. Пусть V₂ = ℒ^(e₁, e₂)  V = ℒ(e₁, e₂) V₂, Это значит, что если xV₂, то хе₁, хе₂.

xV₂  (Ax, e₁) = (x, A^*e₁) = (x, e₁) = ₁(x, e₁) = 0;

(Ax, e₂) = (x, A^*e₂) = (x, e₂) = ₂(x, e₂) = 0;

(A^*x, e₁) = (x, Ae₁) = (x, ₁e₁) = (x, e₁) = 0;

(A^*x, e₂) = (x, Ae₂) = (x, ₂e₂) = (x, e₂) = 0,

т.е. Ax, A^*xV₂.

Следовательно операторы А и А^* действуют в V₂.

3) ….

Продолжая приведенные рассуждения мы построим ортонормированный базис {e_k} из собственных векторов общих для А и А^* ▶

Следствие 1: Для нормального оператора А существует базис в котором А имеет

диагональную матрицу.

Следствие 2: Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему

собственных векторов.

И, наконец:

Тº. Если оператор АL(V, V) имеет ортонормированный базис из собственных

векторов, то этот оператор – нормальный. Доказать самостоятельно.