§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.

Лінійне рівняння а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n=b називається однорідним, якщо його вільний член b дорівнює нулю.

Систему лінійних рівнянь, в якій всі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідною системою лінійних рівнянь (СЛОР).

Загальний вигляд СЛОР:

(1)

Будь-яка однорідна лінійна система сумісна. Вона завжди має розв’язок х=(0,0,…,0)-нульовий (тривіальний ) розв’язок. Будь-який розв’язок СЛОР, відмінний від нульового називають ненульовим (нетривіальним) розв’язком. Насправді, не будь-яка СЛОР має ненульові розв’язки.

Теорема. (достатня умова існування ненульових розв’язків СЛОР)

Однорідна система лінійних рівнянь, в якій кількість рівнянь менша кількості невідомих, має ненульові розв’язки.

Розв’язки СЛОР мають такі властивості :

Якщо вектор b=(b₁,b₂,…,b_n) є розв’язком системи (1), то при довільному числі k вектор kb=(kb₁,kb₂,…,kb_n) також буде розв’язком цієї системи.
Будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи (1) сама буде розв’язком цієї системи.

Розглянемо множину L розв’язків СЛОР. Нехай а=(а₁,а₂,…,а_n) і b=(b₁,b₂,…,b_n) є розв’язками СЛОР. Покажемо, що множина розв’язків СЛОР утворює підпростір V_n, тобто, що виконуються такі умови:

1) a+b=(а₁+b₁,а₂+b₂,…,а₃+b_n);

2) ka=(kа₁,kа₂,…,kа_n).

Вектори a+b i ka є розв’зками СЛОР за властивістю розв’язків СЛОР.

Отже, множина розв’язків СЛОР утворює підпростір V_n.

У випадку неоднорідної системи така властивість місця не має.

Теорема 7. (про розмірність простору розв’язків СЛОР)

Розмірність простору розв’язків СЛОР дорівнює різниці кількості змінних n і рангу основної матриці системи r.

dimL=n-r

Означення. Будь-яка лінійно незалежна система векторів однорідної системи лінійних рівнянь, через яку лінійно виражається довільний розв’язок цієї системи, називається її фундаментальною системою розв’язків.

Іншими словами базис простору розв’язків СЛОР називається фундаментальною системою розв’язків.

Приклад.

Побудувати простір розв’язків СЛОР:

Загальний розв’язок системи х=(х₄,х₄,-х₄,х₄),х₄ є R .

Знайдемо фундаментальну систему розв’язків ФСР. Для цього вільним змінним надамо довільних значень. Зауважимо, що не можна всім вільним змінним одночасно надавати значення 0, бо нуль-вектор не може належати до базиса простору розв’язків СЛОР. Надамо змінній х₄ значення 1, одержимо один вектор ФСР а=(1,1,-1,1).

Знаючи базис простору розв’язків можна записати L={ka, k є R}.