§6. Задачі

1. Розкласти на множники L і U матриці:

2. Розкласти на множники L і U матрицю А і розв’язати систему лінійних рівнянь

3. Знайти розклад РА=LDU

4. Розкласти матрицю А на множники Q і R

5. Розкласти матрицю А на множники Q і R

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь використовуючи розклад А=QR

7. Розкласти матрицю на QR врахувавши, що перший стовпчик уже одиничний вектор.

8. Для матриці знайти ортонормований базис для векторів- стовпчиків, записати A=QR, розв’язати систему лінійних рівнянь Ax=b, якщо b=(-3,7,1,0,4).

9. Розкласти матрицю А на множники

10. Зробити розклад Чолескі для матриці А:

Бібліотека термінів

А

Абелева група – група, в якій операція комутативна, тобто

a b (a*b=b*a)

Алгебра – множина із введеними на ній алгебраїчними операціями.

Алгебраїчним доповненням А елемента а_ij квадратної матриці А n-го порядку називається мінор М_ij матриці А, помножений на (-1)^i+j, тобто А_ij=(-1)^i+jМ_ij

Б

Базис – лінійно незалежна підсистема а_i1,а_i2,…,а_in системи векторів а₁,а₂,…,а_m простору V_n , якщо кожний вектор даної системи є лінійною комбінацією векторів підсистеми.

Базис векторного простору – лінійно незалежна система твірних.

В

Векторний (лінійний) простір над полем Р – множина елементів довільної природи, в якій введено операції додавання і множення на елементи поля (скаляри) і виконуються аксіоми:

1) <V_n,+> - абелева група;

2. Операція множення на скаляр асоціативна

 k,l є P ,  a є V_n ((kl)a=k(la));

3)  a є V_n (1*a=a), 1 P;

4. Операція множення на скаляр дистрибутивна відносно додавання елементів множини V_n

 k є P  a,b є V_n (k(a+b)=ka+kb);

5) Операція множення на скаляр дистрибутивна відносно додавання скалярів

 k,l є P  a є V_n ((k+l)a=ka+kb).

Визначена система лінійних рівнянь – сумісна система лінійних рівнянь, яка має єдиний розв’язок.

Власний вектор оператора А – вектор а0, який задовольняє умові аА=а, де  є Р.

Власне значення оператора А – число , яке відповідає власному вектору а такому, що аА=а .

Г

Головна діагональ квадратної матриці n-го порядку – діагональ, яка йде від лівого верхнього кута до нижнього правого, тобто яка складається з елементів а₁₁,а₂₂,…,а_nn.

Група – множина G із введеною на ній алгебраїчною операцією * , якщо виконуються такі властивості:

1) асоціативність операції  a,b,c є G ((a*b)*c=a*(b*c));

2) нейтральний елемент  a є G  e (a*e=e*a=a);

3) симетричний елемент  a є G  a (a*a=a*a=e).

Д

Детермінант n-го порядку квадратної матриці – алгебраїчна сума n! членів (доданків), кожен з яких є добутком n елементів, взятих з різних рядків і з різних стовпчиків, причому цей добуток береться із знаком плюс, якщо перестановка, утворена з других індексів (при умові, що перші йдуть по порядку), парна, і з протилежним знаком, якщо ця перестановка непарна

Дефект лінійного оператора dim(KerA) – розмірність ядра цього оператора.

Діагональна матриця – квадратна матриця D = (d_ij) n-го порядку, якщо всі її елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю

i, j ( i j => d_ij=0).

Дійсний векторний (лінійний ) простір – простір V_n, якщо поле Р - це поле дійсних чисел.

Добуток вектора a=(a₁,a₂,…,a_n) на число k є P – вектор

ka=(ka₁,ka₂,…,ka_n).

Добуток матриці А на елемент k є P – матриця kA = (kа_ij)_m*n.

Добуток матриці А на матрицю В – матриця АВ = (с_pq)_m*l, де

А=(а_ij)_m*n , В=(b_sk)_{n*l ,} с_pq=a_p1b_1q+a_p2b_2q +…+a_pnb_nq. При цьому матриця А називається лівим множником, матриця В – правим множником.

Добуток лінійних операторів А і В – оператор D, який визначається формулою  х є V_n (xD=(xA)B) і позначається D=AB.

Добуток лінійного оператора А на число k – оператор В, який визначається формулою  х є V_n k є Р (хВ=kxA) і позначається В=kA.

Довжина ( норма ) вектора а - невід’ємне значення квадратного кореня з числа (а,а), позначається а .

Е

Евклідовий простір – дійсний векторний простір, в якому визначений скалярний добуток.

Елементарні перетворення матриці А:

1. перестановка рядків (стовпчиків);

2. множення рядка (стовпчика) на довільне, відмінне від нуля число;

3. додавання рядків (стовпчиків);

4. множення рядка (стовпчика) і додавання його до іншого рядка (стовпчика).

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь:

1. перестановка місцями (транспозиція) двох рівнянь системи;

2. множення будь-якого рівняння системи на число, відмінне від нуля;

3. додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помножене на деяке число;

4. викреслення невизначеного рівняння.

І

Ідемпотентна матриця – матриця, якщо А²=А.

Інваріантний підпростір U лінійного простору V_n відносно оператора А – такий підпростір, що UAU, тобто якщо образ хА довільного вектора х з U міститься в U.

Інверсія – упорядкована пара (i,j), якщо i > j.

i-ий діагональний елемент – елемент головної діагоналі матриці.

К

Квадратна матриця n-го порядку – матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців.

Кільце – множина <K,+,* >, якщо:

1) <K,+> - абелева група;

2. * - асоціативна;

3. дистрибутивні закони

a,b,c є K ( (a+b)c=ac+bc)

((a+b)=ca+cb).

Комутативне кільце – кільце, в якому операція множення комутативна.

Кососиметрична матриця - квадратна матриця, для якої A=-А.

Кут між векторами a i b ( ненульовими) евклідового простору Е – таке число  (0<=<=), що

Л

Лінійно залежна система векторів – система векторів а₁,а₂,…,а_m простору V_n, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m не всі рівні нулю, що

k₁a₁ +k₂a₂+…+k_ma_m=0 (*)

Лінійна комбінація векторів а₁,а₂,…,а_m - вектор b є V_n, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m, що b=k₁a₁+k₂a₂+…+k_ma_m. Числа k₁,k₂,…,k_n називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Лінійний многовид простору V – множина всіх векторів х=х₀+y, де х₀ – деякий вектор простору V,а y – будь-який вектор підпростору V простору V.

Лінійно незалежна система векторів – система векторів для якої рівність (*) виконується лише при k₁ = k₂ = … = k_m = 0.

Лінійна оболонка системи векторів (простір, натягнутий на дану систему векторів) L(a₁,a₂,…,a_m) – множина всіх лінійних комбінацій векторів даної системи векторів.

L(a₁,a₂,…,a_m)={k₁a₁+k₂a₂+…+k_ma_m k_i є Р, i=1,…,m}.

Лінійний оператор А векторного простору V – оператор для якого виконуються такі умови:

1.  х₁,х₂ є L ((х₁+х₂)А=х₁А+х₂А);

2.  х є L  k є P ((kх)А=k(хА)).

Лінійне рівняння з n невідомими – рівняння виду а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n=b, де х₁,х₂,…,х_n – невідомі, а₁,а₂,…,а_n – числа з деякого числового поля Р. Числа а₁,а₂,…,а_n називають коефіцієнтами рівняння, а число

b – вільним членом цього рівняння.

М

Матриця – прямокутна таблиця, яка складається з елементів даного поля.

Загальний вигляд матриці:

A = = (а_ij)

А = (a₁,a₂,…,a_n) В =

Мінором (n-1)-го порядку квадратної матриці А n-го порядку – детермінант матриці (n-1)-го порядку, який утворений з матриці А викресленням i-го рядка та j-го стовпчика.

Множенням матриць – операція, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю АВ = (с_pq), де с_pq = a_p1b_1q+a_p2b_2q+…+a_pnb_nq , тобто с_pq є сумою добутків відповідних елементів р-го рядка і q-го стовпчика.

Н

Невизначена система лінійних рівнянь - система лінійних рівнянь, якщо вона має безліч розв’язків

Невизначене рівняння – рівняння виду 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n = 0.

Несумісна система рівнянь – система рівнянь, яка не має жодного розв’язку.

Неособлива ( невироджена ) матриця – квадратна матриця, яка не є особливою.

Непарна перестановка – перестановка, в якій загальна кількість інверсій непарна.

Нормований вектор – вектор, довжина (норма) якого дорівнює 1.

n-мірним арифметичним простором над полем Р – множина V_n всіх

n-мірних числових векторів з координатами із поля Р із введеними на ній операціями додавання векторів і множення вектора на число з поля Р.

n-мірний числовий вектор - будь-яка впорядкована система n чисел a₁,a₂,…,a_n з поля P (деяке числове поле); числа a₁,a₂,…,a_n називаються його координатами ( компонентами): a₁–першою координатою, a₂–другою координатою,…, a_n–n-ою координатою.

О

Обернена матриця – матриця А^-1, яка має таку властивість

АА^-1 = А^-1А = Е, де Е – одинична матриця відповідного порядку.

Область значень ІmA лінійного оператора А – сукупність образів всіх векторів простору V_n.

Оборотна матриця - матриця, для якої існує обернена матриця.

Однорідне рівняння – лінійне рівняння

а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n = b, якщо його вільний член b дорівнює нулю.

Ортогональна матриця – квадратна матриця, якщо

АА = AA = E.

Ортогональна система векторів – система векторів а₁,а₂,…,а_n, якщо будь-які її два вектори ортогональні, тобто (а_i,а_j) = 0 для i  j.

Ортогональне доповнення підпростору U – підпростір U^ всіх векторів простору Е, ортогональних підпростору U.

Ортогональні вектори – вектори a i b простору Е, якщо (a,b) = 0.

Ортогональний підпростору U вектор a – вектор простору Е_n, якщо він ортогональний довільному вектору цього підпростору (записують а U).

Ортонормований базис - базис е₁,е₂,…,е_n евклідового простору Е_n, якщо він ортогональний і всі його вектори нормовані, тобто

(е_i,е_j) =

Основна матриця СЛР – матриця, яка складена з коефіцієнтів СЛР.

Особлива (вироджена) матриця - квадратна матриця, якщо ранг матриці менший її порядку.

П

Парна перестановка – перестановка, в якій загальна кількість інверсій парна.

Парність підстановки – сума числа інверсій у верхній і нижній перестановці.

Переріз підпросторів А,В,С,… - множина F=ABC… векторів, які належать одночасно кожному з просторів А,В,С,… , де А,В,С,… - скінченна або нескінченна множина деяких підпросторів простору V.

Перестановкою з n елементів – послідовність, утворена внаслідок впорядкування n-елементної множини.

Підпростір – непорожня підмножина V векторного простору V_n, якщо вонa є лінійним простором відносно операцій, введених у V_n.

Підсистема - множина, яка складається з будь-яких k (km) векторів системи а₁,а₂,…,а_m.

Підстановкою з n елементів – бієктивне відображення n-елементної множини на себе.

Поле – комутативне кільце з одиницею, в якому

 a ≠ 0  a^-1 (a*a^-1 = 1).

Пропорційний вектор b з простору V_n вектору a з цього ж простору, якщо існує таке число k таке, що b=ka.

Пряма сума підпросторів – сума U=U₁+U₂+…+U_m лінійних підпросторів U₁,U₂,…,U_m простору V, якщо для довільного вектора u є U існує тільки одне представлення виду

u = u₁+u₂+…+u_m, де u_i є U_i, i = 1,…,m.

Прямокутна матриця – матриця розміру m*n, якщо m  n.

Р

Ранг матриці – найвищий порядок мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Ранг RangA лінійного оператора А – розмірність області значень ImА.

Ранг системи векторів – кількість векторів, які входять в будь-який базис даної системи векторів.

Рівні вектори – числові вектори a = (a₁,a₂,…,a_n),

b = (b₁,b₂,…,b_n), якщо рівні їх відповідні координати, тобто

а = b  a₁ = b₁  a₂ = b₂  …  a_n = b_n.

Рівні матриці – матриці, в яких рівні відповідні елементи.

Рівносильні системи лінійних рівнянь – системи лінійних рівнянь, множини розв’язків яких співпадають

Розв’язок рівняння – n-мірним числовий вектор

а = (а₁,а₂,…,а_n) такий, що рівняння перетворюється в істинну рівність після заміни в ньому невідомих х_i відповідними координатами а_i.

Розв’язок системи лінійних рівнянь – будь-який n-мірний числовий вектор а = (а₁,а₂,…,а_n), який є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.

Розмірністю многовиду Р – розмірність того підпростору V, зсувом якого було одержано цей многовид.

Розширена матриця – матриця, яка складена з коефіцієнтів і вільних членів системи.

Рядковий ранг матриці – ранг системи векторів-рядків матриці.

С

Симетрична матриця – довільна квадратна матриця А, якщо A=A.

Система лінійних однорідних рівнянь (СЛОР) – систем лінійних рівнянь, в якій всі вільні члени дорівнюють нулю.

Система лінійних рівнянь ( СЛР ) – система виду

де х₁,х₂,…,х_n - невідомі, а₁₁,а₁₂,…,а_mn і b₁,b₂,…,b_m - деякі числа з поля Р. Числа а₁₁,а₁₂,…,а_mn називаються коефіцієнтами системи, а числа b₁,b₂,…,b_m – вільними членами системи.

Система твірних – система векторів а₁,а₂,…,а_n множини векторів лінійного простору, якщо будь-який вектор з цієї множини можна лінійно виразити через скінченне число векторів а₁,а₂,…,а_n:

a₁,а₂,…,а_n – система твірних  а_i (а_i=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n).

Скалярна матриця – діагональна матриця, якщо елементи її головної діагоналі рівні між собою.

Скалярне множення – операція, що кожній парі векторів a,b є V_n ставить у відповідність єдине дійсне число, яке називається скалярним добутком векторів a,b і познaчається символом (a,b), причому виконуються аксіоми скалярного добутку:

1.  a,b є V_n [(a,b) = (b,a)];

2.  a,b є V_n [(a+b,c) = (a,c)+(b,c)];

3.  a,b є V_n  k є R [(ka,b) = k(a,b)];

4.  a є V_n, a  0 [(a,a)  0].

Спектром лінійного опереатора А – весь набір характеристичних коренів оператора А.

Стовпчиковий ранг матриці –ранг системи векторів-стовпчиків матриці А.

Сума векторів – вектор c=(a₁+b₁,a₂+b₂,…,a_n+b_n), де

a =(a₁,a₂,…,a_n), b=(b₁,b₂,…,b_n).

Сума матриць А+В – матриця (а_ij+b_ij)_m*n, де А = (а_ij)_m*n,

В = (b_ij)_m*n над полем Р

Сума операторів А+В – оператор S, який кожному вектору х є V_n ставить у відповідність вектор хА+хВ і позначається S=A+B

Сума підпросторів U₁,U₂,…,U_m - множина

U = U₁+U₂+…+U_m всіх векторів, кожний з яких представляється у вигляді суми u₁+u₂+…+u_m, u_i є U_i.

Сумісна система рівнянь – система рівнянь, яка має хоча б один розв’язок.

Суперечливе рівняння – рівняння виду

0*х₁+0*х₂+…+0*х_n = b, b  0.

Т

Транспозиція – зміна місцями двох елементів перестановки.

Транспонування детермінанта – перехід від даного детермінанта до нового, одержаного з даного за таким правилом - всі рядки детермінанта записуються відповідними стовпчиками в новому детермінанті.

Транспонування матриці – перехід від даної матриці до нової, одержаної з даної за таким правилом - всі рядки матриці записуються відповідними стовпчиками в новій матриці.

Ф

Фундаментальною системою розв’язків - будь-яка лінійно незалежна система векторів однорідної системи лінійних рівнянь, через яку лінійно виражається довільний розв’язок цієї системи.

Х

Нехай А=(а_ij) – деяка матриця n-го порядку над полем Р.

Е – одинична матриця порядку n,  - деяке невідоме, тоді матриця А-Е називається характеристичною матрицею матриці А.

А =

Характеристичним рівнянням матриці А – рівняння

А-Е = 0.

Характеристичні корені матриці А – корені А-Е = 0 .

Характеристичне рівняння оператора А - характеристичне рівняння А-Е =0 матриці А.

Характеристичні корені оператора А – корені А-Е =0.

Я

Ядро KerA лінійного оператора А простору V – сукупність всіх векторів цього простору, які відображаються оператором А в нульовий вектор 

KerA = { x x є V, xA = }  V

Список використаних джерел

1. Завало С.Т. Алгебра і теорія чисел. К., 1983

2. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. К.-1977. ч.1.

3. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії.//Діскант В.І., Береза Л.Р.,Грижун О.П., Захаренко Л.М. – К: Вища школа. – 2001.

4. Крутицкая Н.И., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах.М.-1975

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.- 1971

6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.-1975

7. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре. Гуппы, кольца, поля. М.- 1983

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

М.-1965

9. Фадєєв Д.К. Сомінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри

М.-1971

10. Linear Algebra and its applications. Gilbert Strang. Massachusetts Institute of Technology.

Зміст

Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. 3

§1. Вектори. Дії над векторами. 3

§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків. 4

§3. Елементарні перетворення. 7

§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір. 9

§5. Лінійна залежність векторів. 12

§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору. 14

§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи. 16

§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем. 19

§9. Лінійний многовид. 20

Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. 21

§1. Матриці. 21

§2. Дії з матрицями. 23

§3. Частинні випадки множення матриць. 26

§4. Обернена матриця. 28

§5. Ранг матриці. 29

§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь. 32

Розділ 3. Визначники. 37

§1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку. 37

§2. Алгебраїчне доповнення елемента. 39

§3. Детермінант n-го порядку. 41

§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці. 44

§5. Обчислення оберненої матриці. 46

Розділ 4. Підпростори векторних просторів. 47

§1. Лінійна оболонка системи векторів. 47

§2. Переріз і сума підпросторів. 48

§3. Пряма сума підпросторів. 51

Розділ 5. Евклідові простори. 51

§1. Скалярний добуток та евклідові простори. 52

§2. Довжина вектора. Кут між векторами. 53

§3. Ортогональний базис. 54

§4. Ортонормований базис. 55

§5. Ортогональне доповнення підпростору. 55

Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. 62

§1. Лінійні оператори і їх матриці. 62

§2. Способи задання лінійного оператора. 63

§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах. 65

§4. Операції над лінійними операторами. 65

§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора. 67

§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. 68

§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора. 68

§8. Лінійний оператор з простим спектром. 69

Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь 79

§1. Трикутний розклад і зміна рядків 79

§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця 82

§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта 83

§4. Розклад А=QR 84

§5. Інші цікаві розклади матриць 88

§6. Задачі 92

107