- •Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
- •§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
- •§3. Елементарні перетворення.
- •§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір.
- •§5. Лінійна залежність векторів.
- •§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.
- •§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.
- •§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.
- •§9. Лінійний многовид.
- •Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. §1. Матриці.
- •§2. Дії з матрицями.
- •§3. Частинні випадки множення матриць.
- •§4. Обернена матриця.
- •§5. Ранг матриці.
- •§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь.
- •Розділ 3. Визначники. §1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку.
- •§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
- •§3. Детермінант n-го порядку.
- •§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці.
- •§5. Обчислення оберненої матриці.
- •Розділ 4. Підпростори векторних просторів. §1. Лінійна оболонка системи векторів.
- •§2. Переріз і сума підпросторів.
- •§3. Пряма сума підпросторів.
- •Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.
- •§2. Довжина вектора. Кут між векторами.
- •§3. Ортогональний базис.
- •§4. Ортонормований базис.
- •§5. Ортогональне доповнення підпростору.
- •Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
- •§2. Способи задання лінійного оператора.
- •§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.
- •§4. Операції над лінійними операторами.
- •§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора.
- •§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
- •§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.
- •§8. Лінійний оператор з простим спектром.
- •Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь §1. Трикутний розклад і зміна рядків
- •§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця
- •§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
- •§5. Інші цікаві розклади матриць
- •§6. Задачі
- •Бібліотека термінів
§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
Нехай маємо три незалежних вектора а, b, с. Ортогоналізуємо дану систему векторів.
- одиничний вектор.
Вектор ортогональний вектору .
- одиничний вектор.
Вектор ортогональний до і .
В результаті ми одержали ортонормовану систему векторів, які утворюють ортогональну матрицю Q.
Процес Грамма-Шмідта починається з незалежних векторів а1, а2,..., аn і закінчується ортонормованими векторами q1, q2,…, qn. На j-ому кроці віднімаємо від аj його координати в напрямках, які вже встановлені:
і - одиничний вектор.
§4. Розклад А=QR
Встановимо зв’язок між матрицями A і Q. Вектори а і q1 лежать на одній прямій. Кожен вектор площини є лінійною комбінацією векторів q1 і q2 : .
Аналогічно с є лінійною комбінацією векторів q1, q2, q3 :
Виразивши це в матричній формі отримаємо новий розклад А=QR.
Розклад A=QR подібний до A=LU, але зараз перший множник Q має ортонормовані стовпці, а другий множник R – верхня трикутна матриця.
Приклад 1. Знайти розклад матриці А=QR
Приклад 2. Знайти розклад матриці А=QR
Можливо розклад QR є не такий гарний, як LU (тому, що є квадратні корені), але обидва розклади є важливими в курсі лінійної алгебри. Розклад LU ввів Герц, а розклад QR ввів Авіс.
Зауваження. Кожну матрицю А розмірності з лінійно незалежними стовпцями
можна розкласти на множники A=QR. Колонки Q є ортонормованими, а матриця R верхня трикутна. Якщо m=n, то всі матриці квадратні і Q стає ортогональною матрицею.
Приклад 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь, використовуючи розклад А=QR.
Отримаємо систему лінійних рівнянь
§5. Інші цікаві розклади матриць
Використовуючи розклади матриці А можна розв’язати систему лінійних рівнянь Ах = b, якщо:
A=LU, тоді Lc=b, Ux=c, x=U-1L-1b;
A=QR, тоді Qc=b, Rx=c, x=R-1QTb.
Розглянемо розклади матриць:
Розклад Чолескі для симетричної матриці А:
,
де - діагональна матриця, яка утворюється з D добуванням квадратного кореня з її елементів.
Скорочений розклад:
,
де матриці мають такі розмірності , ,
Якщо матриця А симетрична, то LT =U і в такому випадку A=LDLT=LDU.
Приклад 1.
Приклад 2.
Матриця та ж сама матриця R з процесу Грамма-Шмідта. Одержані в результаті матриці Q і R дають розклад A=QR.
Скорочений розклад
Подібно симетричному розкладу LDLT він є кращий, ніж A=LU, але дещо відрізняється. Якщо А має ранг r, ми маємо тільки r стовпців в матриці L і r рядків в U. Останні m-r рядків U можна відкинути. Останні n-r стовпців матриці L теж можна відкинути. В результаті множення ми одержуємо ту ж матрицю А. Матрицю рангу r можна розкласти на добуток матриць розмірностей . У випадку, коли матриця А потребує перестановки рядків, то РА=LU і необхідна незначна зміна: формується з перших r стовпців замість .
В кожному випадку r стовпців є базисом для векторів-стовпців А, і r рядків є базисом для векторів-рядків А.
Приклад. Розкласти матрицю