Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет

імені Богдана Хмельницького

Ілляшенко Н.Г.

Лінійна алгебра

Частина I

Навчально – методичний посібник для організації самостійної роботи студентів

Черкаси

Посібник містить теоретичні відомості курсу теорії многочленів. Кожен розділ посібника супроводжується набором прикладів розв’язування типових задач.

Посібник призначений для організації самостійної роботи студентів стаціонарної та заочної форм навчання.

Рецензент : Атамась В.В. – кандидат фіз-мат наук, доцент кафедри алгебри, геометрії та МВМ ЧНУ

ім. Б. Хмельницького.

Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.

Для побудови загальної теорії систем лінійних рівнянь введемо поняття n-мірного числового вектора та простору дійсних чисел. З шкільного курсу математики відомо, що довільний вектор площини можна записати а=k₁e₁+k₂e₂, де k₁,k₂ - елементи поля дійсних чисел, а е₁,е₂ – орти, або їх називають базисом двоxвимірного простору. Якщо в множині векторів звичайного простору вибрати деякий базис e₁,e₂,e₃, то будь-який вектор a можна розкласти по векторам e₁,e₂,e₃ :

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃,

причому коефіцієнти a₁,a₂,a₃ в розкладі визначаються єдиним чином. Їх називають координатами вектора a в базисі e₁,e₂,e₃. Дану рівність можна записати так: a=(a₁,a₂,a₃)

Нехай a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃) і k - деяке число, то

1) a=b  a₁=b₁  a₂=b₂  a₃ =b₃;

2) ka=(ka₁,ka₂,ka₃);

3) a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃).

Означення.Будь-яка впорядкована система n чисел a₁,a₂,…,a_n з поля P (деяке числове поле) називається n-мірним числовим вектором; числа a₁,a₂,…,a_n називаються його координатами або компонентами:

a₁–першою координатою, a₂–другою координатою,…, a_n–n-ою.

Числові вектори будемо позначати a,b,c,… .

Координати а_1, a_2,…,a_n n-мірного числового вектора а розташовують в рядок або стовпчик:

1) a=(a₁,a₂,…,a_n); 2) a=

Означення.Числові вектори a=(a₁,a₂,…,a_n), b=(b₁,b₂,…,b_n) рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні координати, тобто

a=b  a₁=b₁  a₂=b₂  …  a_n=b_n.

Означення. Сумою a+b векторів a=(a₁,a₂,…,a_n), b=(b₁,b₂,…,b_n) називається вектор c=(a₁+b₁,a₂+b₂,…,a_n+b_n).

Означення. Добутком вектора a=(a₁,a₂,…,a_n) на число k є P називається вектор ka=(ka₁,ka₂,…,ka_n).

Нульовий вектор =(0,0,…,0).

§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.

Лінійним рівнянням з n невідомими називається рівняння виду а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n=b, (1), де х₁,х₂,…,х_n - невідомі, а₁,а₂,…,а_n - деякі числа з деякого числового поля Р. Числа а₁,а₂,…,а_n називають коефіцієнтами рівняння (1), а число b - вільним членом цього рівняння.

Рівняння виду 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=0 називається невизначенним.

Рівняння виду 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n =b, b0 називається суперечливим .

Означення. Розв’язком рівняння (1) називається такий n-мірний числовий вектор а=(а₁,а₂,…,а_n), що рівняння (1) перетворюється в істинну рівність після заміни в ньому невідомих х_i відповідними координатами а_i.

Приклад.

1)3х₁+4х₂=13 – лінійне рівняння з двома невідомими, вектор а=(3,1) розв’язок даного рівняння.

2)3х₁+4х₂–5х₃=0 – лінійне рівняння з трьома невідомими. Вектор а=(2,1,2) – розв’язок рівняння, вектори b=(1,3,3), 0=(0,0,0) також є розв’язками цього рівняння.

Нехай дано m лінійних рівнянь з невідомими х₁,х₂,…,х_n, які розглядаються над одним числовим полем Р, і стоїть задача знайти спільний розв’язок всіх рівнянь. В такому випадку кажуть, що задана система m лінійних рівнянь з n невідомими(СЛР) і її записують наступним чином:

(2)

де х₁,х₂,…,х_n - невідомі, а₁₁,а₁₂,…,а_mn і b₁,b₂,…,b_m - деякі числа з поля Р. Числа а₁₁,а₁₂,…,а_mn називаються коефіцієнтами системи, а числа b₁,b₂,…,b_m – вільними членами системи.

Коєфіцієнти, які стоять в системі (2) при невідомих х_i і вільні члени цієї системи складають m-мірні числові вектори.

Система (2) рівносильна рівнянню (3) х₁а₁+х₂а₂+…+х_nа_n=b.

Рівняння (3) називають векторною формою системи лінійних рівнянь.

Означення. Розв’язком системи лінійних рівнянь (2) називається будь-який n-мірний числовий вектор а=(а₁,а₂,…,а_n), який є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.

Система рівнянь, яка має хоча б один розв’язок, називається сумісною; система рівнянь, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною.

Якщо в системі зустрічається суперечливе рівняння, то система несумісна.

Виключення з системи невизначеного рівняння не впливає на розв’язок системи.

Теорема. Якщо система лінійних рівнянь має два різних розв’язки, то вона має їх безліч.

Отже, сумісна система лінійних рівнянь може мати або один розв’язок, або безліч.

Означення. Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок; вона називається невизначеною, якщо має безліч розв’язків.

Отже, якщо система має єдиний розв’язок, то вона є сумісно визначеною, кілька розв’язків - сумісно невизначена, жодного, то несумісна.

Розв’язати СЛР - це означає дослідити, сумісна вона чи ні; у випадку сумісності встановити число її розв’язків і знайти їх.

Матрицю, яка складена з коефіцієнтів СЛР (2) називають основною матрицею цієї системи, а матрицю, яка складена з коефіцієнтів і вільних членів системи, називають розширеною матрицею цієї системи.

Системи лінійних рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Щоб розв’язати СЛР застосовують елементарні перетворення.

1. Дослідити на сумісність і визначеність СЛР:

Складаємо розширену матрицю цієї системи

1. Якщо k=1, то система несумісна;

2. Якщо k1, то

Загальний розв’язок

( , , , ).