- •Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
- •§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
- •§3. Елементарні перетворення.
- •§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір.
- •§5. Лінійна залежність векторів.
- •§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.
- •§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.
- •§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.
- •§9. Лінійний многовид.
- •Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. §1. Матриці.
- •§2. Дії з матрицями.
- •§3. Частинні випадки множення матриць.
- •§4. Обернена матриця.
- •§5. Ранг матриці.
- •§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь.
- •Розділ 3. Визначники. §1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку.
- •§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
- •§3. Детермінант n-го порядку.
- •§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці.
- •§5. Обчислення оберненої матриці.
- •Розділ 4. Підпростори векторних просторів. §1. Лінійна оболонка системи векторів.
- •§2. Переріз і сума підпросторів.
- •§3. Пряма сума підпросторів.
- •Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.
- •§2. Довжина вектора. Кут між векторами.
- •§3. Ортогональний базис.
- •§4. Ортонормований базис.
- •§5. Ортогональне доповнення підпростору.
- •Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
- •§2. Способи задання лінійного оператора.
- •§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.
- •§4. Операції над лінійними операторами.
- •§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора.
- •§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
- •§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.
- •§8. Лінійний оператор з простим спектром.
- •Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь §1. Трикутний розклад і зміна рядків
- •§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця
- •§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
- •§5. Інші цікаві розклади матриць
- •§6. Задачі
- •Бібліотека термінів
§2. Дії з матрицями.
Означення. Нехай дано матриці А=(аij)m*n, В=(bij)m*n над полем Р. Матриця (аij+bij)m*n називається сумою матриць А і В і позначається А+В; при цьому матриці А,В називаються доданками.Операція, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю А+В називається сумою матриць. А+В=(аij+bij)
Властивості додавання матриць:
Операція додавання матриць комутативна, тобто для А=(аij)m*n, В=(bij)m*n однакового розміру А+В=В+А;
Операція додавання матриць асоціативна, тобто А=(аij)m*n, В=(bij)m*n, С=(сij)m*n однакового розміру (А+В)+С=А+(В+С);
В множині матриць А даного розміру існує одна матриця О, яка є нейтральним елементом відносно операції додавання матриць, тобто така, що А A+О=О+A=A, її називають нульовою матрицею;
В множині матриць даного розміру для кожної матриці А існує єдина протилежна матриця А, тобто така, що A+A=A+A=O.
Приклад. Дано матриці А і В. Знайти А+В і В+А і порівняти їх.
A = B =
A+B =
B+A =
Отже, А+В=В+А.
Приклад. Дано матриці А і В. Знайти А+В.
А = B =
Сума матриць А+В, В+А не існує, оскільки матриці різної розмірності.
Умови існування суми матриць: матриці повинні бути однакового розміру.
Означення. Нехай дана матриця А=(аij)m*n над полем Р і елемент k є Р. Добутком матриці А на елемент k називається матриця (kаij)m*n, яка позначається kA.
Властивості множення матриці на скаляр :
1) Операція множення матриці на скаляр асоціативна в тому розумінні, що для довільної матриці А і чисел k,l є Р :
k(lA)=(kl)A=klA;
2)Операція множення матриці на скаляр дистрибутивна відносно додавання матриць і відносно додавання скалярів, тобто
A k,l є Р (k+l)A=kA+lA
A,B k є Р k(A+B)=kA+kB,
де А і В однакового розміру.
Приклад. Дано матриці А і В, скаляри k,l. Знайти (k+l)A,k(A+B).
A = B = k=2, m=-1
(k+m)A = (2-1)
k(A+B) = 2 + = 2
Означення. Дано матриці А=(аij)m*n і В=(bsk)n*l, які належать полю Р. Матриця (сpq)m*l, де сpq=ap1b1q+ap2b2q+…+apnbnq
називається добутком матриці А на матрицю В і позначається АВ. При цьому матриця А називається лівим множником, матриця В – правим множником. Операція, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю АВ, називається множенням матриць.
Отже, АВ=(сpq), де сpq=ap1b1q+ap2b2q+…+apnbnq ,
тобто сpq є сумою добутків відповідних елементів р-го рядка і q-го стовпчика.
Зауваження. Добуток мартиць існує тоді і лише тоді, коли кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.
Властивості множення матриць:
Операція множення матриць в загальному випадку некомутативна. Але існують такі матриці А,В, що АВ=ВА.
Наприклад, АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О. Якщо матриці А і В задовольняють умову АВ=ВА, то такі матриці є перестановочними або комутативними. Комутативними є лише квадратні матриці.
Операція множення асоціативна, тобто
А,В,С (АВ)С=А(ВС)
3) Асоціативність множення матриці на матрицю і на скаляр
А,В k,l є Р (kA)B=k(AB)
A(kB)=(Ak)B=(kA)B
4) В множині квадратних матриці n-го порядку існує єдина матриця E, яка є нейтральним елементом відносно операції множення матриць, тобто така, що А (AE=EA=A)
Для множини прямокутних матриць А розміром m*n можна говорити про існування односторонніх нейтральних елементів, тобто таких матриць В і С, що А (АВ=СА=А).
Операції додавання і множення матриць А і В одночасно можна виконувати лише тоді, коли А і В – квадратні матриці одного порядку.
В множині квадратних матриць n-го порядку мають місце дистрибутивні закони (правий і лівий) множення відносно додавання:
А,В,С- n-го порядку (А+В)С=АС+ВС
С(А+В)=СА+СВ.
З сказаного вище слідує, що множина всіх квадратних матриць n-го порядку над полем Р є кільцем з одиницею відносно операцій додавання і множення матриць (некомутативне кільце). Позначається Мn=<Mat (R),+,*>.