- •Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
- •§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
- •§3. Елементарні перетворення.
- •§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір.
- •§5. Лінійна залежність векторів.
- •§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.
- •§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.
- •§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.
- •§9. Лінійний многовид.
- •Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. §1. Матриці.
- •§2. Дії з матрицями.
- •§3. Частинні випадки множення матриць.
- •§4. Обернена матриця.
- •§5. Ранг матриці.
- •§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь.
- •Розділ 3. Визначники. §1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку.
- •§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
- •§3. Детермінант n-го порядку.
- •§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці.
- •§5. Обчислення оберненої матриці.
- •Розділ 4. Підпростори векторних просторів. §1. Лінійна оболонка системи векторів.
- •§2. Переріз і сума підпросторів.
- •§3. Пряма сума підпросторів.
- •Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.
- •§2. Довжина вектора. Кут між векторами.
- •§3. Ортогональний базис.
- •§4. Ортонормований базис.
- •§5. Ортогональне доповнення підпростору.
- •Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
- •§2. Способи задання лінійного оператора.
- •§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.
- •§4. Операції над лінійними операторами.
- •§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора.
- •§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
- •§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.
- •§8. Лінійний оператор з простим спектром.
- •Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь §1. Трикутний розклад і зміна рядків
- •§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця
- •§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
- •§5. Інші цікаві розклади матриць
- •§6. Задачі
- •Бібліотека термінів
Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
Нехай V – деякий векторний простір над полем Р.
Означення. Вважають, що у векторному просторі V задано оператор, якщо вказано правило, за яким кожному вектору х простору V ставиться у відповідність деякий вектор х цього ж простору. При цьому вектор х називають образом вектора х, а х називають прообразом вектора х, позначають образ вектора х через (хА).
Означення. Оператор А векторного простору V називають лінійним, якщо виконуються такі умови:
х1,х2 є V ((х1+х2)А=х1А+х2А);
х є V k є P ((kх)А=k(хА)).
Ознака лінійного оператора: k,l є P x,y є V ((kx+ly)А=k(хА)+l(yА)).
Приклади лінійних операторів:
Нехай V – довільний лінійний простір. Кожному вектору простору V поставимо у відповідність нульовий вектор цього простору. Це відображення є лінійним оператором, який називається нульовим оператором.
Оператор, який будь-якому вектору простору V ставить у відповідність цей же вектор, теж є лінійним оператором, який називається одиничним або тотожнім оператором.
Оператор подібності : х (хА=kх).
Поворот площини хОy навколо початку координат О проти годинникової стрілки на деякий фіксований кут
0 є лінійним оператором простору W.
Оператор диференціювання: f(x) (f(x)А=f(x)), тобто кожному многочлену з дійсними коефіцієнтами ставиться у відповідність його похідна.
Властивості лінійного оператора:
1) Будь-який лінійний оператор А простору V залишає нерухомим нульовий вектор цього простору, тобто А=;
2) Будь-який лінійний оператор А простору Vn протилежному вектору –х довільного вектора, ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора х, тобто х є Vn ((-х)А=-хА);
Кожний лінійний оператор А простору Vn будь-якій лінійній комбінації довільно вибраних векторів х1,х2,…,хn простору Vn ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто
хi є Vn ki є Р ((k1x1+k2x2+…+knxn)А=k1x1А+k2x2А+…+knxnА.
§2. Способи задання лінійного оператора.
1) Описовий спосіб
х (хА=tх), де t є Р, t – фіксоване.
2) За допомогою відображення базису.
Теорема 1. Будь-який лінійний оператор А в просторі V однозначно визначається заданням образів е1А,е2А,…,еnА всіх векторів будь-якого фіксованого базиса {x1,x2,…,xn} цього простору.
Теорема 2. Яка б не була впорядкована система з n векторів простору Vn c1,с2,…,сn (1) існує, причому тільки один, лінійний оператор А простору Vn такий, що вектори системи (1) будуть образами векторів базиса {e1,e2,…,en}при дії цього оператора,тобто сi=еiА , i=1,…,n.
3)За допомогою матриці.
Нехай А – деякий лінійний оператор простору Vn. Виберемо у Vn який-небудь базис {e1,e2,…,en}. Оператор А відображає вектори цього базиса в деякі вектори е1А,е2А,…,еnА. Кожен вектор еiА єдиним чином лінійно виражається через вектори базиса {e1,e2,…,en}:
(2)
Складемо матрицю А з коефіцієнтів аij
А =
Дана матриця А однозначно визначається оператором А, оскільки її рядками є координати образів базисних векторів в даному базисі. Будемо називати її матрицею лінійного оператора в базисі {e1,e2,…,en}. Отже, якщо в лінійному просторі Vn над полем Р вибрати певний базис {e1,e2,…,en} і потім кожному оператору А простору Vn поставимо у відповідність матрицю А цього оператора в базисі {e1,e2,…,en}, то цим буде встановлена взаємно однозначна відповідність між всеможливими лінійними операторами простору Vn і всіма матрицями n-го порядку над полем Р. З’ясуємо як, знаючи матрицю лінійного оператора А і координати вектора х в базисі {e1,e2,…,en}, знайти координати вектора хА в цьому ж базисі.
Нехай А=(аij) – матриця оператора А в базисі {e1,e2,…,en} і вектор х=k1e1+k2e2+…+knen. Підставляючи формули (2) і позначивши координатний рядок вектора х через [х], одержимо, що
[xA]e=[x]eAe.
Теорема 3. Координатний рядок вектора хА в базисі {e1,e2,…,en} дорівнює добутку координатного рядка вектора х на матрицю лінійного оператора А в цьому базисі.