Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЧАСТИНА I.doc
Скачиваний:
34
Добавлен:
16.11.2019
Размер:
1.78 Mб
Скачать

Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.

Нехай V – деякий векторний простір над полем Р.

Означення. Вважають, що у векторному просторі V задано оператор, якщо вказано правило, за яким кожному вектору х простору V ставиться у відповідність деякий вектор х цього ж простору. При цьому вектор х називають образом вектора х, а х називають прообразом вектора х, позначають образ вектора х через (хА).

Означення. Оператор А векторного простору V називають лінійним, якщо виконуються такі умови:

  1. х12 є V ((х12)А1А2А);

  2. х є V k є P ((kх)А=k(хА)).

Ознака лінійного оператора: k,l є P x,y є V ((kx+ly)А=k(хА)+l(yА)).

Приклади лінійних операторів:

  1. Нехай V – довільний лінійний простір. Кожному вектору простору V поставимо у відповідність нульовий вектор цього простору. Це відображення є лінійним оператором, який називається нульовим оператором.

  2. Оператор, який будь-якому вектору простору V ставить у відповідність цей же вектор, теж є лінійним оператором, який називається одиничним або тотожнім оператором.

  3. Оператор подібності : х (хА=kх).

  4. Поворот площини хОy навколо початку координат О проти годинникової стрілки на деякий фіксований кут

  0 є лінійним оператором простору W.

  1. Оператор диференціювання: f(x) (f(x)А=f(x)), тобто кожному многочлену з дійсними коефіцієнтами ставиться у відповідність його похідна.

Властивості лінійного оператора:

1) Будь-який лінійний оператор А простору V залишає нерухомим нульовий вектор  цього простору, тобто А=;

2) Будь-який лінійний оператор А простору Vn протилежному вектору –х довільного вектора, ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора х, тобто х є Vn ((-х)А=-хА);

  1. Кожний лінійний оператор А простору Vn будь-якій лінійній комбінації довільно вибраних векторів х12,…,хn простору Vn ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто

хi є Vn ki є Р ((k1x1+k2x2+…+knxn)А=k1x1А+k2x2А+…+knxnА.

§2. Способи задання лінійного оператора.

1) Описовий спосіб

х (хА=tх), де t є Р, t – фіксоване.

2) За допомогою відображення базису.

Теорема 1. Будь-який лінійний оператор А в просторі V однозначно визначається заданням образів е1А2А,…,еnА всіх векторів будь-якого фіксованого базиса {x1,x2,…,xn} цього простору.

Теорема 2. Яка б не була впорядкована система з n векторів простору Vn c12,…,сn (1) існує, причому тільки один, лінійний оператор А простору Vn такий, що вектори системи (1) будуть образами векторів базиса {e1,e2,…,en}при дії цього оператора,тобто сiiА , i=1,…,n.

3)За допомогою матриці.

Нехай А – деякий лінійний оператор простору Vn. Виберемо у Vn який-небудь базис {e1,e2,…,en}. Оператор А відображає вектори цього базиса в деякі вектори е1А2А,…,еnА. Кожен вектор еiА єдиним чином лінійно виражається через вектори базиса {e1,e2,…,en}:

(2)

Складемо матрицю А з коефіцієнтів аij

А =

Дана матриця А однозначно визначається оператором А, оскільки її рядками є координати образів базисних векторів в даному базисі. Будемо називати її матрицею лінійного оператора в базисі {e1,e2,…,en}. Отже, якщо в лінійному просторі Vn над полем Р вибрати певний базис {e1,e2,…,en} і потім кожному оператору А простору Vn поставимо у відповідність матрицю А цього оператора в базисі {e1,e2,…,en}, то цим буде встановлена взаємно однозначна відповідність між всеможливими лінійними операторами простору Vn і всіма матрицями n-го порядку над полем Р. З’ясуємо як, знаючи матрицю лінійного оператора А і координати вектора х в базисі {e1,e2,…,en}, знайти координати вектора хА в цьому ж базисі.

Нехай А=(аij) – матриця оператора А в базисі {e1,e2,…,en} і вектор х=k1e1+k2e2+…+knen. Підставляючи формули (2) і позначивши координатний рядок вектора х через [х], одержимо, що

[xA]e=[x]eAe.

Теорема 3. Координатний рядок вектора хА в базисі {e1,e2,…,en} дорівнює добутку координатного рядка вектора х на матрицю лінійного оператора А в цьому базисі.