§5. Лінійна залежність векторів.

Означення.Вектор b з простору Vn називається пропорційним вектору a з цього ж простору, якщо існує таке число k таке, що b=ka.

Нульовий вектор =(0,0,…,0) пропорційний будь-якому вектору а=(а₁,а₂,…,а_n) тому, що  = 0*а.

Нехай а₁,а₂,…,а_m (1) довільна система векторів з простору.

Означення.Вектор b є Vn називається лінійною комбінацією векторів а₁,а₂,…,а_m, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m, що

b=k₁a₁+k₂a₂+…+k_ma_m (2)

Числа k₁,k₂,…,k_n називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Нульовий вектор =(0,0,…,0) є лінійною комбінацією векторів будь-якої системи, оскільки =0*а₁+0*а₂+…+0*а_m.

Означення. Система векторів а₁,а₂,…,а_m простору Vn називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m не всі рівні нулю і

k₁a₁ +k₂a₂+…+k_ma_m=0. (*)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність (*) виконується лише при k₁ = k₂ = …= k_m = 0.

Приклади.

1. З’ясувати лінійно залежною чи лінійно незалежною є система векторів

a₁=(1,-2,-3), а₂=(2,3,4), а₃=(3,5,7).

Запишемо рівняння () k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃=0. Звідси одержимо систему

Розв’яжемо її методом Гауса

=> x₁=x₂=x₃=0.

Отже, система векторів є лінійно незалежною.

2)а₁ = (1,2sinA,tgA,2cosA)

a₂ = (ctgA,2cosA,1,0)

a₃ = (cosA,sin2A,sinA,1+cos2A),

a₄ = (tgA,1,0,2sinA).

Аналогічно попереднім міркуванням маємо:

k₄ = 0, k₂ = tgA/2/(1-2sinAtgA)k₃

Отже, існує k₂0, а рівняння () виконується. Отже, система лінійно залежна.

Теорема 1.(ознака лінійної залежності системи)

Система векторів (1) лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших її векторів.

Наслідок 1. Будь-яка система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно залежна.

Наслідок 2. Якщо в системі є пропорційні (колінеарні) вектори, то система лінійно залежна.

Теорема 2. Якщо система векторів а₁,а₂,…,а_m лінійно незалежна, а система векторів а₁,а₂,…,а_m,b лінійно залежна, то вектор b є лінійною комбінацією векторів а₁,а₂,…,а_m.

Означення. Множина, яка складається з будь-яких k (km) векторів системи (1) називається підсистемою цієї системи.

Теорема 3. Якщо деяка підсистема системи векторів (1) лінійно залежна, то і система (1) лінійно залежна.

Наслідок. Якщо система векторів (1) лінійно незалежна, то і будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

Теорема 4. Будь-які s векторів арифметичного n-мірного простору складають при s>n лінійно залежну систему.

§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.

Нехай а₁,а₂,…,а_m (3) –довільна система векторів простору Vn і а_i1,а_i2,…,а_in (4) –деяка лінійно незалежна підсистема цієї системи.

Означення. Лінійно незалежна підсистема (4) системи векторів (3) називається базисом системи (3), якщо кожний вектор системи (3) є лінійною комбінацією векторів цієї підсистеми.

Теорема 6. Два різних базиса однієї і тієї ж системи векторів містять однакову кількість векторів.

Наприклад за базис V₃ можна взяти систему е₁=(1,0,0), е₂=(0,1,0), е₃=(0,0,1) або а₁=(1,2,-2), а₂=(0,-1,3), а₃=(0,-2,4).

Але система b₁=(1,-2,-3), b₂=(1/2,-1,-3/2), b₃=(4,5,6) не є базисом так, як вона містить пропорційні рядки, тобто є лінійно залежною.

Означення. Кількість векторів, які входять в будь-який базис даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів – це максимальне число лінійно незалежних векторів системи.

Приклад.

1) Знайти один з базисів системи векторів і виразити всі її вектори, що не входять до знайденого базису, через цей базис :

а₁ = (4,1,2), а₂ = (1,0,3), а₃ = (2,3,-5), а₄ = (1,1,6).

Складемо матрицю, рядками якої є дані вектори і зведемо її до діагонального виду

При елементарних перетвореннях координати вектора а перетворилися в 0, тому базисом даної системи векторів є вектори а₂,а₃,а₄.

Виразимо вектор а₁ через базис: а₁=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄, де k_i невідомі коефіцієнти. Складемо матрицю даного рівняння:

Одержимо систему

Отже, а₁=21/4a₂+13/20a₃-19/20a₄.

Іншим базисом даної системи векторів є вектори а₁,а₂,а₃.

Означення. Системою твірних називається система векторів а₁,а₂,…,а_n множини векторів лінійного простору, якщо будь-який вектор з цієї множини можна лінійно виразити через скінченне число векторів а₁,а₂,…,а_n:

a₁,а₂,…,а_n – система твірних  а_i (а_i=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n).

Ознака лінійної залежності системи векторів - cистема векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли знайдеться вектор в цій системі, який є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи:

a₁,а₂,…,а_n – лінійно залежна  a_i (a_i=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n).

Означення. Лінійно незалежна система твірних називається базисом векторного простору.

Ознака базису: базис – максимально лінійно незалежна система векторів. Максимальна в тому розумінні, що якщо до неї приєднати ще один вектор, то вона стане лінійно залежною.

Теорема. Кількість векторів в довільному базисі скінченно вимірного простору є інваріантом цього простору (одна і та ж для простору), а розмірність простору дорівнює кількості векторів в базисі цього простору.

Наприклад, система з 5 лінійно незалежних векторів утворює базис, а система з 6 векторів є лінійно залежною і базис на утворює.