- •Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
- •§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
- •§3. Елементарні перетворення.
- •§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір.
- •§5. Лінійна залежність векторів.
- •§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.
- •§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.
- •§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.
- •§9. Лінійний многовид.
- •Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. §1. Матриці.
- •§2. Дії з матрицями.
- •§3. Частинні випадки множення матриць.
- •§4. Обернена матриця.
- •§5. Ранг матриці.
- •§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь.
- •Розділ 3. Визначники. §1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку.
- •§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
- •§3. Детермінант n-го порядку.
- •§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці.
- •§5. Обчислення оберненої матриці.
- •Розділ 4. Підпростори векторних просторів. §1. Лінійна оболонка системи векторів.
- •§2. Переріз і сума підпросторів.
- •§3. Пряма сума підпросторів.
- •Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.
- •§2. Довжина вектора. Кут між векторами.
- •§3. Ортогональний базис.
- •§4. Ортонормований базис.
- •§5. Ортогональне доповнення підпростору.
- •Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
- •§2. Способи задання лінійного оператора.
- •§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.
- •§4. Операції над лінійними операторами.
- •§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора.
- •§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
- •§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.
- •§8. Лінійний оператор з простим спектром.
- •Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь §1. Трикутний розклад і зміна рядків
- •§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця
- •§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
- •§5. Інші цікаві розклади матриць
- •§6. Задачі
- •Бібліотека термінів
§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
Нехай дана квадратна матриця n-го порядку
A =
Означення. Мінором (n-1)-го порядку М квадратної матриці А n-го порядку називається детермінант матриці (n-1)-го порядку, який утворений з матриці А викресленням i-го рядка та j-го стовпчика.
Матриця А n-го порядку має n2 мінорів (n-1)-го порядку.
Означення. Алгебраїчним доповненням елемента аij квадратної матриці А n-го порядку називається мінор Мij матриці А, помножений на (-1)i+j, тобто Аij=(-1)i+jМij
Приклад 1.
Обчислити всі мінори і алгебраїчні доповнення 2-го порядку визначника
M11 = = -3 M21 = = -1 M31 = = 7
M12 = = -3 M22 = =-1 M32 = = 5
M13 = = -1 M23 = = -1 M33 = = 1
A11 = -3, A12 = 3, A13 = -1,
A21 = 1, A22 = -1, A23 = 1,
A31 = 7, A32 = -5, A33 = 1.
Лема. Детермінант , в якого всі елементи i-го рядка (або j-го стовпця), крім елемента аij, дорівнюють нулю, дорівнює добутку елемента аij на його алгебраїчне доповнення, тобто =аijАij.
Теорема. Визначник =аij n-го порядку дорівнює сумі всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тобто
=аi1Аi1+…+аinАin,
=а1jА1j+…+аjnАj1
Перша з них – це розклад детермінанта за елементами i-го рядка, друга – розклад детермінанта за елементами j-го стовпця.
Наслідок. Детермінант квадратної матриці n-го порядку дорівнює нулю, якщо всі мінори (n-1)–го порядку дорівнюють нулю.
Теорема. Сума всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) цього визначника дорівнює нулю.
Наслідок. a1jА1m+…+аnjАnm=0 (jm)
ai1Ak1+…+ainAkn=0 (ik).
Приклад 2.
Обчислити детермінант
1 спосіб. Розкладемо детермінант за елементами першого стовпчика
= = 3(-1)2 + 1(-1)3 +
+ 5(-1)4 + 4(-1)5 =
=3(-28+120-24-140-36-16)-(56+240-42-245-72+32)+5(24+120+14- -105+24+16)-4(96+144-98-126+96-112)=-372+31+465=124.
2 спосіб. За допомогою елемента a21 = 1 обнулимо всі інші елементи першого стовпчика і для обчислення використаємо лему
= = 1(-1)3 =
= -(1120+468+1040-520--672-1560)=124.
§3. Детермінант n-го порядку.
Означення. Детермінантом n-го порядку квадратної матриці називається алгебраїчна сума n! членів (доданків), кожен з яких є добутком n елементів, взятих з різних рядків і з різних стовпчиків, причому цей добуток береться із знаком плюс, якщо перестановка, утворена з других індексів (при умові, що перші йдуть по порядку), парна, і з протилежним знаком, якщо ця перестановка непарна.
Використовуючи вище сказане, пояснимо знаки доданка а13а21а32 та а12а21а33.
Розташуємо перші індекси по порядку, а з других утворимо перестановку 3,1,2 та 2,1,3 відповідно. Перша перестановка є парною, тому знак доданка а13а21а32 плюс, а друга – непарна, тому знак доданка а12а21а33 – мінус.
Властивості детермінанта n-го порядку :
Якщо в детермінанті є нульовий рядок, то детермінант дорівнює нулю.
Перестановка рядків (стовпчиків) змінює знак детермінанта.
Якщо в детермінанті є два однакові рядки, то детермінант дорівнює нулю.
Спільний множник k з одного рядка (стовпчика) можна винести за знак детермінанта.
Якщо в детермінанті якийсь рядок є сумою двох рядків, то
Якщо в детермінанті є два пропорційні рядки (стовпчики), то детермінант дорівнює нулю.
Якщо в детермінанті k-ий рядок домножити на число р≠0 і додати його до m-го рядка, то детермінант не зміниться.
Детермінант не змінюється при транспонуванні.
Транспонування – перехід від даного детермінанта до нового, одержаного з даного за таким правилом : всі рядки детермінанта записуються відповідними стовпчиками в новому детермінанті.
9) =(-1)1+iMi1ak1+…+(-1)i+nMinakn = =ak1Ai1+ak2Ai2+aknAin = 0
Сума добутків елементів рядка на чужі алгебраїчні доповнення дорівнює нулю.
Сума добутків елементів рядка на свої алгебраїчні доповнення дорівнює детермінанту.
Приклад.
Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:
А = В =
= = -20-40-54+40+24+45 = -5
1 = = 36-28-54+28-81+24 = -75 х1 = -75/(-5) = 15
2 = = 30-90+42-60+54-35 = -59 x2 = -59/(-5) = 59/5
3 = = -70+243-120-180+84+135 = 92 x3 = 92/(-5)= = -92/5
Розв’язок х=(15,59/5,92/5).
Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:
= = -4-8-5+4+8+5 = 0
1 = = -4-12-10+6+16+5 = 1
2 = = -4-2-3+4+2+3 = 0
3 = = 6+16+5-4-12-10 = 1
Система несумісна.
Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:
= = -48-6-45+12+15+72 = 0
1 = = -24-6-27+12+9+36 = 0
2 = = 36+12+15-9-30-24 = 0
3 = = -16-3-30+8+5+36 = 0
Систему методом Крамера розв’язати не можна. Складемо розширену матрицю системи і зведемо її до діагонального виду.
Загальний розв’язок х=( , , x3), x3 є R.